Розв’язання:

Нехай для натуральних чисел виконується умова . Позначивши , дістанемо: . Отже, нам потрібно знайти таке ціле гауссове число і таке натуральне число , що квадрат модуля числа дорівнює квадрату числа

Зокрема, якщо взяти , де ─ теж ціле гауссове число, то за основною властивістю модуля , тому за можна взяти , що є натуральним числом. Отже,

звідки

,

а

Щоб числа були натуральними, потрібно брати . Тоді числа утворюватимуть піфагорову трійку. Справді,

Очевидно, піфагорові трійки задаватимуть загальніші формули:

де ─ довільне натуральне число.

Якщо отримаємо піфагорову трійку , якщо , ─ піфагорові трійку і т.д.

Задача 7.3. Знайти всі точки з цілочисловими координатами, розміщені на колі радіуса з центром у початку координат. [12]

Розв’язання:

Рівняння даного кола має вигляд:

Кожній точці з цілочисловими координатами цього кола відповідає подання числа у вигляді суми двох квадратів:

.

Користуючись алгоритмом, описаним вище, подамо число у вигляді добутку простих гауссових чисел:

Звідси, групуючи по-різному прості множники, матимемо:

Отже, колу належать точки з цілочисловими координатами і . Враховуючи, що дане коло симетричне відносно початку й осей координат, а також відносно прямих , воно проходить також через точки:

7.2. Комплексні числа та алгебраїчні задачі

Розглянемо застосування комплексних чисел в алгебрі до розв'язування рівнянь та їх систем.

Оскільки ліва частина довільного алгебраїчного рівняння є многочленом, то нам будуть потрібні деякі властивості многочленів, пов'язані з відношенням подільності.

Говорять, що многочлен ділиться на многочлен (позначають ), якщо знайдеться такий многочлен , що

Наприклад, , оскільки .

Якщо ж не ділиться на , то можна виконати ділення з остачею:

,

де остача або дорівнює нулю, або її степінь менший від степеня дільника , причому неповна частка і остача визначаються однозначно многочленами і . Для практичного відшукання неповної частки й остачі користуються алгоритмом ділення «кутом». Зокрема, якщо дільник є многочленом першого степеня (лінійним двочленом), тобто , то остача буде або нулем, або многочленом нульового степеня, тобто деяким числом , що не містить змінної (вважаємо, що ). Тоді ділення з остачею запишеться у вигляді:

Поклавши в цій рівності , отримаємо:

звідки . Отже, остача від ділення многочлена на двочлен дорівнює значенню многочлена для . Зокрема, якщо число є коренем многочлена , тобто (це рівносильно тому, що число є коренем алгебраїчного рівняння , то

,

тобто ділиться на . Навпаки, якщо ділиться на , тобто , то , тобто число є коренем многочлена .

Ми отримали твердження, яке називається теоремою Безу (на честь французького математика Е.Безу):

Число є коренем многочлена тоді і тільки тоді, коли ділиться на двочлен .

Число називається кратним коренем многочлена кратності , якщо ділиться на , але не ділиться на . Корінь кратності називається простим коренем.

Так, є кратним коренем многочленна кратності . Якщо дискримінант квадратного тричлена дорівнює нулю, то тричлен має кратний корінь кратності .

Нехай многочлен степеня має корінь .

Тоді за теоремою Безу

,

де – многочлен степеня . Якщо – також корінь многочлена , то

,

звідки , якщо і , де – многочлен степеня . Якщо , тобто – кратний корінь, то

,

де – многочлен степеня . В обох випадках

,

де має степінь . Оскільки степені лівої і правої частин у цих рівностях мають бути однакові (дорівнювати ), то, продовжуючи аналогічні міркування, приходимо до висновку: многочлен степеня не може мати більше коренів. За основною теоремою теорії многочленів, довільний многочлен степеня у множині комплексних чисел має рівно коренів, якщо кожен корінь рахувати стільки разів, яка його кратність.

Якщо

та – усі його корені, то за попередніми міркуваннями

,

де – многочлен нульового степеня, тобто деяке число. Якщо виконати множення в правій частині рівності та прирівняти відповідні коефіцієнти, то неважко зрозуміти, що , тобто

Прирівнявши інші коефіцієнти, матимемо:

звідки

Ми отримали формули Вієта для коренів многочлена , які узагальнюють відомі шкільні формули для коренів квадратного тричлена.

Нехай многочлен

має дійсні коефіцієнти та – його комплексний корінь, тобто

,

звідки .

Покажемо, що в цьому випадку спряжене число також є коренем многочленна . Справді,

,

оскільки (скористалися властивостями операції спряження: , а також тим фактом, що для довільного дійсного числа ). Отже, якщо комплексне число є коренем многочлена з дійсними коефіцієнтами, то і спряжене з ним число також є коренем цього многочлена, тобто множина комплексних коренів такого многочлена розбивається на пари взаємно спряжених чисел. Звідси, випливає, що многочлен непарного степеня з дійсними коефіцієнтами має принаймні один дійсний корінь.

Якщо — розклад многочлена з дійсними коефіцієнтами на лінійні множники та — його комплексний корінь, то також є коренем , тобто в розкладі присутній множник . Перемноживши відповідні множники, отримаємо:

Якщо , то , . Тому вказаний добуток буде квадратним тричленом з дійсними коефіцієнтами. Виконавши множення для всіх пар таких множників, можна подати многочлен у вигляді добутку лінійних двочленів і квадратних тричленів з дійсними коефіцієнтами.