Міністерство освіти та науки України
Черкаський національний університет
імені Богдана Хмельницького
Ілляшенко Надія Григорівна
Матеріали до навчального посібника
«Комплексні числа»
Черкаси 2007
Зміст
Вступ 3
1. Поняття комплексного числа 5
1.1. Перша в історії математики зустріч з «неможливими» числами при розв’язуванні квадратних рівнянь 6
1.2. Друга в історії математики зустріч з софістичними числами при розв’язуванні кубічних рівнянь 7
1.3. Подальші зустрічі з новими числами у Р. Декарта при дослідженні розв’язків рівнянь алгебри другого степеня. 9
2. Дії над комплексними числами та геометрична інтерпретація комплексних чисел 11
2.1. Додавання та віднімання комплексних чисел 11
2.2. Множення та ділення комплексних чисел в алгебраїчній формі 13
2.3. Піднесення комплексних чисел до степеня. 16
2.4. Геометричне зображення суми і різниці двох комплексних чисел 17
3. Тригонометрична форма комплексного числа. 23
3.1. Модуль та аргумент комплексного числа. 23
3.2. Формули переходу із тригонометричної форми в алгебраїчну і навпаки. 27
3.3. Дії множення і ділення в тригонометричній формі комплексного числа. 32
3.4. Геометрична інтерпретація комплексних чисел в тригонометричній формі. 36
4. Добування кореня го степеня з комплексного числа 38
4.1. Добування кореня го степеня з одиниці 40
4.2. Формула Муавра 43
5. Показникова форма та логарифм комплексного числа 48
5.1. Добуток та частка комплексних чисел в показниковій формі. 50
5.2. Піднесення до цілого додатного степеня та добування кореня з комплексного числа 51
5.3. Означення та властивості логарифма 52
5.4. Логарифм комплексного числа в показниковій формі. 54
6. Алгебраїчні і трансцендентні комплексні числа 60
6.1. Алгебраїчні комплексні числа. 60
6.2. Трансцендентні комплексні числа. 60
7. Застосування комплексних чисел в шкільному курсі математики 62
7.1. Застосування комплексних чисел до розв'язування арифметичних задач 62
7.2. Комплексні числа та алгебраїчні задачі 65
7.3. Застосування комплексних чисел до розв'язування тригонометричних задач 71
7.4. Комплексні числа при розв'язуванні геометричних задач в шкільному курсі математики 75
Висновки 80
Список використаної літератури: 81
Додаток 1 83
Додаток 2 90
Вступ
На першому курсі при вивченні теми «Комплексні числа» відчувалася потреба в літературі, де була б зібрана якнайширша інформація для вивчення студентами даної теми. Тему «Комплексні числа» вивчають також в школах в класах з поглибленим вивченням математики. Тому є потреба в підборі матеріалу для створення методичних рекомендацій з даної теми, а в подальшому створення цих рекомендацій в електронному вигляді для застосовування на заняттях з лінійної алгебри та дистанційного навчання студентів заочної форми навчання та школярів старших класів, що і пояснює актуальність обраної теми.
Метою роботи є підготовка матеріалів до випуску методичних рекомендацій. В процесі роботи над темою були поставлені такі завдання:
опрацювати літературу з даної теми;
в стислій формі подати необхідний теоретичний матеріал для вивчення теми;
підібрати задачі, класифікувати їх за формою подання комплексних чисел (алгебраїчна чи тригонометрична) та відносно виконання дій (додавання, віднімання, множення, ділення, піднесення до степеня, логарифмування);
на конкретних прикладах показати застосування комплексних чисел при розв’язуванні задач.
До кожного розділу подано і детально розв’язано задачі, більшість яких є авторськими (46 шт.).
Матеріал
до даної теми висвітлено в роботі в семи
розділах. Серед них такі: історія розвитку
поняття комплексного числа, дії над
комплексними числами в алгебраїчній
формі та геометричне зображення,
тригонометрична форма запису, добування
кореня
го
степеня з комплексного числа та формула
Муавра. Робота також містить теоретичний
та практичний матеріал, який не
розглядається при вивченні даної теми
в курсі лінійної алгебри, а саме:
показникова форма комплексного числа,
логарифм комплексного числа, алгебраїчні
та трансцендентні комплексні числа.
Оскільки тема має зв’язок з шкільним курсом, то останній розділ роботи присвячено застосуванню комплексних чисел в шкільному курсі математики.
Робота містить комплекс задач для самостійного розв’язування.
В додатку до роботи подано самостійно розроблені таблиці, у яких в скороченій формі пояснено виконання основних дій над комплексними числами в алгебраїчній, тригонометричній, показниковій формах та дій над логарифмами комплексних чисел. Також складено таблицю переходу від алгебраїчної до тригонометричної форми «основних» (які найчастіше використовуються при розв’язуванні задач) комплексних чисел.
1. Поняття комплексного числа
Розглянемо
рівняння
,
це рівняння має розв’язок в множині
комплексних чисел, його позначимо через
.
Тоді
.
Множина
– розширення множини дійсних чисел
,
тому
.
Для елементів множини
введемо арифметичні операції:
.
Ці числа
складові
множини
.
Означення1.
Комплексним
числом
називається число вигляду
,
де
.
Числа
і
називаються, відповідно, дійсною і
уявною частинами комплексного числа
і позначаються символами
,
.
У випадку,
коли
число
вважається таким, що співпадає з дійсним
числом
;
якщо
,
то
позначається просто
і називається чисто уявним комплексним
числом. Визначимо на множині комплексних
чисел поняття рівності і спряженості.
Будемо казати, що комплексні числа
і
вважають рівними,
,
тоді й тільки тоді, коли рівні їх дійсні
та уявні частини, тобто
Поняття
“більше” і “менше” для комплексних
чисел не має смислу. Ці числа за величиною
не порівнюють. Тому не можна, наприклад,
сказати, яке з двох комплексних чисел
більше
чи
,
чи
.
У випадку, коли
,а
кажуть, що комплексне число
спряжене з комплексним числом
і позначається символом
.
Таким чином,
.
Наприклад,
спряженими є комплексні числа
та
;
та
;
та
;
та
.
Якщо дане число
,
то спряженим до нього є
.
До числа
спряженим буде
,
бо
.
Властивості спряжених комплексних чисел:
1.1. Перша в історії математики зустріч з «неможливими» числами при розв’язуванні квадратних рівнянь
При
розв’язуванні квадратних рівнянні
все йшло нормально,
коли мали
(1.1).
Тому всі задачі на квадратні рівняння
підбиралися з такими чисельними даними,
щоб
вони задовольняли співвідношенню
(1.1)
.
Першим,
хто наважився розглядати задачі, що не
задовольняють умові
(1.1), був італійський вчений Джеронімо
Кардано
(1501—1576),
який поставив задачу: нарізати ділянку
землі прямокутної форми
з площею
(кв.од.)
і периметром
(лін.од.)
— і при розв’язуванні зробив так:
1)
спершу одержав систему рівнянь
2)
знайшов з другого рівняння
і
підставив в перше рівняння:
.
,
де
3)
одержав розв’язок:
Кардано був здивований тим, що знайшов, назвав ці числа софістичними, додавши, що «для здійснення таких дій була б потрібна нова арифметика, яка була б настільки ж витонченою, наскільки даремною».
1.2. Друга в історії математики зустріч з софістичними числами при розв’язуванні кубічних рівнянь
Відзначимо,
що учений, францисканський чернець
(Італія) Лука Пачіоло
(1445—1514) надрукував у Венеції в 1494 р.
працю «Сума, арифметика,
геометрія і пропорційності», яку закінчив
висновком:
«розв’язок кубічних рівнянь вигляду
,
де
і
,
так само неможливо при сучасному стані
науки, як і розв’язок квадратури круга
циркулем і лінійкою».
Не дивлячись на це попередження, за розв’язок кубічного рівняння узялися одночасно два математики: Джеронімо Кардано з Мілана в своєму творі «Велике мистецтво або правила алгебри» і Ніколо Тарталя (1506—1559) з Верони, талановитий самоучка, що став «професором обчислювального мистецтва» і випустив працю «Трактат про числа і міру».
Обидва розв’язали кубічне рівняння , вивівши формулу:
У зв'язку з останньою між Н. Тарталя і Д. Кардано виникла велика суперечка про пріоритет відкриття.
Розглянемо три випадки.
1)
Коли
,
наприклад,
,
за формулою маємо:
Щоб
знайти два інші корені, треба було
многочлен
представити у вигляді добутку
;
останнє знаходиться безпосереднім
діленням:
маємо
.
Отже, корені:
і
2)
Коли
,
наприклад,
,
за тією ж формулою отримуємо:
Маємо
корені:
і
3)
Коли
,
тоді за формулою Кардано-Тарталя з
від’ємного числа доводилося витягувати
квадратний корінь, що неможливо зробити
в множині дійсних чисел.
Так,
візьмемо, наприклад,
,
за виведеною формулою маємо:
Ці
числа ніякими прийомами не вдавалося
перетворити в число
,
а легко бачити, що
є коренем даного рівняння
;
насправді
В цьому третьому неприємному випадку виходить результат в якихось «софістичних» числах, що не приводяться до справжнього кореня, а саме до .
Перша здогадка, як з цих «софістичних» чисел одержати дійсні корені, прийшла чудовому ученому з Болоньї Рафаелі Бомбеллі (1530—1572), який в своїй праці «Алгебра» (1572) показав, що нові числа дають при знаходженні кореня зв'язані числа, при складанні яких взаємно знищується корінь квадратний з від’ємного числа.
Насправді,
,
,
а тому в сумі маємо
Як же Бомбеллі знайшов, що ? Ймовірно, пробами і перевіркою:
а)
в лівій частині
б)
в правій частині
Аналогічно
і
одержимо:
а)
в лівій частині
,
якщо
,
тоді маємо:
— дійсне число, яке входить в поняття
комплексного числа як особливий випадок.
б)
в правій частині
Р. Бомбеллі встановив чотири правила дій над новими числами і чотири правила над новими і «старими» одиницями:
