Завдання 6

ДОВІДКА 6. Формула повної ймовірності. Формула гіпотез (Баєса)

Нехай подія А може відбутися тільки за умови настання однієї із несумісних подій (i = 1, 2,…, n), які утворюють повну групу. Ці події називатимемо гіпотезами. Тоді ймовірність події А обчислюється за формулою повної ймовірності:

де — імовірності гіпотез (i = 1, 2,…, n) і , а — умовні ймовірності настання події А.

Подія А може відбутись одночасно з однією із подій . Відомі ймовірності подій та умовні ймовірності того, що подія А відбудеться. Якщо в результаті випробування подія А відбулась, ймовірності гіпотез зміняться і їх можна обчислити за формулами Баєса:

.

За цими формулами переоцінюють ймовірності гіпотез після проведення випробування.

3. Йде випробування машин трьох заводів, позначимо їх І, ІІ, ІІІ. Ймовірність того, що машина заведеться з однієї спроби для заводу І дорівнює 0,6; для заводу ІІ –0,8 і для заводу ІІІ – 0,9. Знайти ймовірність того, що будь-яка машина заведеться з двох спроб, якщо машин заводу І 15 штук, заводу ІІ  10 штук і заводу ІІІ  25 штук. Яка ймовірність того, що заведена з двох спроб машина виготовлена заводом І?

Зверніть увагу – в задачі поставлено два питання, тому буде дві відповіді.

1. Нехай подія А – {будь-яка машина заведеться з двох спроб}. Подія А може відбутися тільки за умови настання однієї з трьох подій-гіпотез (наступає одночасно з ними):

- { обрана машина виготовлена заводом І };

- { обрана машина виготовлена заводом ІІ };

- { обрана машина виготовлена заводом ІІІ }.

Події (гіпотези) , і несумісні і утворюють повну групу. Розрахуємо ймовірності цих гіпотез:

Перевірка

Так як є дві спроби завести машину, то , тобто або вона заводиться з першого разу (подія ), або не заводиться з першого разу, але заводиться з другого разу (складна подія ). За теоремами множення незалежних подій і додавання несумісних подій отримаємо:

Додаємо умову – одну з гіпотез, та знаходимо умовні ймовірності. Наприклад, - це ймовірність того, що машина заведеться з двох спроб, якщо вона виготовлена заводом І.

Аналогічно

Рекомендуємо розрахунки зводити в таблицю:

За формулою повної ймовірності обчислюємо ймовірність того, що будь-яка машина заведеться з двох спроб:

Отже, приблизно 94% всіх машин заведеться з двох спроб.

2. Величина =0,3 є ймовірністю події . Вона показує, що з ймовірністю 0,3 обрана машина належить заводу І. Знаючи тепер, що обрана машина завелася з 2-х спроб (подія А відбулася), перерахуємо ймовірність її належності до заводу І. За формулою Баєса обчислимо апостеріорну (після випробування) ймовірність події

Отже серед машин, які заводяться з двох спроб, трохи більше чверті припадає на машини заводу І.