Завдання 2

ДОВІДКА 2. Класичне означення ймовірності випадкової події

Випробування — реальний або мислений експеримент (виконаний за певної незмінної сукупності умов), результати якого піддаються спостереженню.

Подія — результат випробування.

Якщо в результаті випробування деяка подія неодмінно відбудеться, то вона називається достовірною і позначається літерою U. Подія, яка в даному випробуванні не може відбутись, називається неможливою і позначається літерою V.

Якщо в результаті випробування деяка подія може відбутись, а може не відбутись, то вона називається випадковою. Випадкові події позначаються літерами A, B, C, D, … .

Випадкові події, які не можна розкласти на простіші, називаються елементарними. Можлива елементарна подія — це кожний із можливих результатів окремого випробування.

Простір елементарних подій — множина можливих елементарних подій, кожною з яких може закінчитись випробування. Якщо позначимо можливі елементарні події, то простір цих подій можна записати у вигляді Простір може містити скінченну, зліченну або незліченну множину значень.

Випадковій події А, яка може відбутись у результаті випробування, можна поставити у відповідність деяку множину елементарних подій, що сприяють появі цієї події: яка є підмножиною .

Означення ймовірності

Ймовірністю події А називається числова міра об’єктивної можливості настання цієї події в певному випробуванні.

Позначається така ймовірність Р(А).

Властивості ймовірності

1. Ймовірність достовірної події

2. Ймовірність неможливої події

3. Ймовірність будь-якої випадкової події

Класичне означення ймовірності

Ймовірністю випадкової події А називається відношення кількості елементарних подій m, які сприяють появі цієї події (становлять множину її елементарних подій), до загальної кількості n рівноможливих елементарних подій, що утворюють простір елементарних подій :

Щоб обчислити ймовірність події А за цією формулою, потрібно знайти кількість елементарних подій у просторі , а також кількість їх у множині, яка відповідає події А. Для цього часто (але не завжди) застосовують формули комбінаторики.

3. Лотерея містить 1000 білетів, із них: на один випадає виграш 500 гривен, на 10 білетів – по 100 гривен, на 20 білетів – по 50 гривен, на 50 білетів – по 20 гривен, останні білети не виграшні. Чому дорівнює імовірність того, що навмання куплений білет виграє не менш 50 гривен?

Подія А - куплений білет принесе виграш не менш, ніж 50 гривен. За класичним визначенням імовірності випадкової події , де n - загальна кількість білетів,а m - кількість білетів, котрі сприяють події А, тобто дають виграш не менш 50 гривен, тому маємо n=1000; m= 1+10+20=31;

3. В урні лежать дві білих, чотири чорних і одна червона куля. Виймається одна куля навмання. Яка ймовірність того, що вийнята куля буде чорною?

Подія А – навмання вийнята чорна куля. Загальна кількість куль або варіантів n= 2+4+1=7. Сприяють події А 4 варіанти – чотири чорних кулі. Тому ймовірність події А дорівнює:

3. Обчислити ймовірність випадання в сумі десяти очок при киданні пари кісток.

Загальну кількість рівноможливих варіантів випадання очок на двох кістках можна підрахувати за правилом добутку: 6 варіантів на першій кістці І 6 – на другій, тому n= 6·6 =36. Випадання в сумі десяти очок (подія А) можливе в трьох випадках - 4 очки на першій кістки і 6 на другий, 5 очок на першій і на другий 5, 6 очок на першій і на другій 4. Тому ймовірність події А (випадання в сумі десяти очок) дорівнює:

3. Яка ймовірність отримати прапор України, розфарбовуючи тканину смугами в два кольори, якщо є фарби п’яти кольорів: жовтого, зеленого, червоного, білого, блакитного.

Тут порядок фарб важливий, тому існує способів 20 скласти двоколірний смугастий прапор (n = 20). І тільки один з них буде прапором Україні (m = 1). Тому

3. Всі натуральні числа від 1 до 30 записані на однакових картках і поміщені в урну. Після ретельного перемішування карток з урни витягується одна картка. Яка ймовірність того, що число на взятій картці виявиться кратним п’яти?

Позначимо через А подію - число на взятій картці кратне 5. В даному випробуванні є 30 рівноможливих елементарних результатів, з яких події А сприяють 6 випадків (числа 5, 10, 15, 20, 25, 30). Отже:

3. З літер слова «математика» навмання обирається одна літера. Яка ймовірність того, що ця літера буде: а) голосною; б) літерою «а»?

У слові «математика» 10 букв, з них 5 голосних і 5 приголосних. Позначимо події: А – голосна літера, В – літера «а». Число сприятливих елементарних фіналів: = 5 – для події А, = 3 – для події В. Оскільки = 10, то:

3. Секретний кодовий замок містить п’ять різних цифр. При правильному їх наборі замок відкривається. Яка ймовірність відкрити замок з першої спроби?

Подія А – замок відкритий з першої спроби. Експеримент полягає у виборі п'яти необхідних цифр з десяти в певному порядку. Число випадків, які сприяють події А дорівнює одному ( m= 1). Визначимо загальну кількість всіх можливих варіантів кодів n (елементарних результатів).

За формулою ; N=10, k=5. 30240.

При наборі цифрового коду необхідно вибрати п'ять різних цифр з десяти, при цьому важливий порядок набору цифр і цифри не повторюються, за правилом добутку отримуємо:

10·9·8·7 = 30240.