Варіанти Завдання 8

Варіанти 1  30.

a. ДВВ. Закон розподілу дискретної випадкової величини Х заданий таблицею:

	i-j-2	i-j-1	i-j	i-j+1	i-j+2	i-j+3

а) побудувати багатокутник розподілу;

б) записати інтегральну функцію розподілу та побудувати її графік;

в) обчислити числові характеристики Позначити на графіку багатокутника розподілу;

г) знайти ймовірність попадання ВВ в інтервал .

b. НВВ. Задано функцію розподілу неперервної випадкової величини X:

а) знайти щільність розподілу f(x) випадкової величини Х ;

б) побудувати графіки функцій F(x) та f(x),

в) обчислити числові характеристики .

г) знайти ймовірність попадання ВВ в інтервал .

Завдання 9 довідка 9. Системи дискретних випадкових величин (сдвв)

Сукупність випадкових величин які розглядаються спільно, називається системою випадкових величин. Якщо тобто розглядається система двох випадкових величин , то геометрично її можна тлумачити як випадкову точку з координатами на площині . Аналогічно, якщо , то маємо випадкову точку у тривимірному просторі. У загальному випадку систему випадкових величин можна інтерпретувати як випадкову точку або випадковий вектор у просторі вимірів.

Розглядають системи дискретних випадкових величин, неперервних випадкових величин, а також системи, до яких входять як дискретні, так і неперервні випадкові величини. Закони розподілу систем випадкових величин задаються різними способами. Так, закон розподілу системи двох дискретних випадкових величин можна задати таблицею:

Y → X ↓	y1	…	yn
x1	P11	…	P1n
…	…	…	…
xm	Pm1	…	Pmn

У цій таблиці , .

Числові характеристики системи випадкових величин та їх обчислення.

Початковим моментом порядку системи називається величина .

Якщо , маємо при дістаємо

Центральним моментом порядку називається величина .

При значеннях 

Якщо навпаки, , то

нарешті, при  = — кореляційний момент (коваріація) випадкових величин

Кореляційний момент можна обчислити також за формулою:

Для незалежних випадкових величин кореляційний момент дорівнює нулю.

Кореляційний момент характеризує тісноту лінійної залежності між величинами. З цією самою метою застосовують коефіцієнт кореляції:

Якщо кореляційний момент (коефіцієнт кореляції) дорівнює нулю, то величини називаються некорельованими. Із незалежності величин випливає їх некорельованість, але із некорельованості величин не випливає їх незалежність. Якщо величини пов’язані лінійною функціональною залежністю, то

Коли відомий закон розподілу системи випадкових величин, то можна знайти закони розподілу для її складових.

Якщо треба побудувати безумовні закони розподілу складових системи то ймовірності визначаються за формулами:

Умовним законом розподілу випадкової величини, яка належить системі, називається закон розподілу, знайдений за умови, що друга випадкова величина набула певного значення.

Умовні ймовірності визначаються за формулами:

Для умовних законів розподілу розглядають числові характеристики  умовне математичне сподівання і умовну дисперсію, які обчислюються за формулами:

Рівняння регресії першого роду  це рівняння, що виражають залежність умовних математичних сподівань від значення випадкової величини, тобто:

Випадкові величини, які входять до системи, незалежні, якщо умовні закони розподілу для них збігаються з безумовними.

Приклад 33. СДВВ. Закон розподілу системи двох випадкових величин задано таблицею:

Y → X ↓	j+1	j+4	j+7
i-4
i-2
i

a) Побудувати безумовні закони розподілу складових системи.

б) Вилічити всі числові характеристики системи: математичні сподівання і дисперсії складових, кореляційний момент системи, коефіцієнт кореляції.

в) Побудувати всі умовні закони розподілення складових та вилікувати їх математичні сподівання.

г) Побудувати рівняння середньоквадратичної лінійної регресії.

д) Зробити малюнок.

i=7, j=3.

Y → X ↓	4	7	10
3
5
7

– сума за всіма клітинками таблиці.

а) Безумовні закони складових системи:

X	3	5	7
p

Ймовірності обчислюються як суми по рядках основної таблиці.

.

Y	4	7	10
p

Ймовірності обчислюються як суми по стовпчиках основної таблиці.

.

б) Числові характеристики системи ДВВ.

.

.

.

; =2,4602.

Зверніть увагу, що всі обчислення повинні бути з однаковою кількістю знаків після коми.

Кореляційний момент краще обчислювати за скороченою формулою:

де - математичне сподівання добутку складових системи.

0,4425.

Коефіцієнт кореляції :

в) Умовні закони розподілу складових системи.

В усіх умовних законах треба вираховувати умовні імовірності, це робимо за формулами, наведеними у довідці 9.

Умовні закони розподілення випадкової величини X.

- ймовірність того, що випадкова величина Х прийме значення (чи Х= ), за умовою того, що Y= .

– відомо з безумовного закону розподілення Y.

X /(y1 =4)	3	5	7
	14/29	4/29	11/29

.

X /(y2 =7)	3	5	7
	10/26	8/26	8/26

.

X /(y3 =10)	3	5	7
	7/25	8/25	10/25

Умовні закони розподілення випадкової величини Y.

- ймовірність того, що випадкова величина Y прийме значення (чи Y= ), за умовою того, що Х= .

– відомо з безумовного закону розподілення X.

Y /(x1 =3)	4	7	10
	14/31	10/31	7/31

.

Y /(x2 =5)	4	7	10
	4/20	8/20	8/20

.

Y /(x3 =7)	4	7	10
	11/29	8/29	10/29

г) Побудуємо рівняння середньоквадратичної лінійної регресії:

Х на Y : ;

Y на Х : .

Коефіцієнти і називаються коефіцієнтами регресії. Підставивши одержані результати до рівнянь, одержимо

та .

Обидві прямі проходять через центр розсіяння системи - точку . Якщо вони співпадуть (тобто ), між складовими системи X та Y наявна лінійна функціональна залежність. Але одержаний коефіцієнт кореляції указує на слабий зв'язок між складовими системи.

Приблизно можна указати такі інтервали для означення виду зв’язку:

- слабий зв'язок; - середній;

– сильний.

д) Малюнок. Позначено дев’ять точок, що входять до СДВВ, та центр розсіяння системи – точку з координатами .

Пунктирні лінії з’єднують точки, що позначають умовні математичні сподівання для умовних законів:

: точки ,

: точки .

Неперервними лініями показані рівняння середньоквадратичної лінійної регресії, для побудови були розраховані такі точки:

y	x		x	y
4	4,74		3	6,56
7	4,96		5	6,86
10	5,18		7	7,15

Ці лінії «спрямляють» реальні лінії регресії.