Завдання 8 довідка 8. Випадкові величини (вв)

Випадковою називається величина, яка в разі випробувань може набувати різних числових значень з різними ймовірностями. Якщо всі ці значення можна перелікувати, випадкова величина називається дискретною (ДВВ). Якщо неможливо перелікувати всі значення  неперервною випадковою величиною (НВВ).

Позначення читається як: ДВВ Х може набувати значень .

Співвідношення між значеннями випадкової величини і їхніми ймовірностями називається законом розподілу випадкової величини.

Закони розподілу випадкових величин задаються:

ДВВ	НВВ
у табличній формі (у таблиці подаються значення випадкової величини в порядку росту та їхні ймовірності ). .	в аналітичній формі, тобто у вигляді функції щільності розподілу .
Найбільш поширений універсальний спосіб завдання закону розподілу ймовірностей  функція розподілу Функція розподілу — не спадна, неперервна зліва. Ймовірність влучення ВВ в інтервал : .
Для ДВВ це накопичувальна сума	Для НВВ це невласний інтеграл
З огляду на зв'язок між функціями: їм дали такі назви: - диференціальна , - інтегральна функція.
графічній - у прямокутній системі координат задається набір точок , сполучивши точки відрізками прямих, дістанемо многокутник розподілу ймовірностей.	графічній - графік функції щільності розподілу.

Графіки функцій розподілу ДВВ и НВВ та інших функцій наведені у прикладах.

Числові характеристики випадкових величин та їх обчислення.

Математичне сподівання випадкової величини характеризує середнє значення Х.

Дисперсія випадкової величини характеризує розсіяння значень Х навколо її середнього значення і визначається за формулою:

.

Середнє квадратичне відхилення (сигма) є квадратним коренем із дисперсії.

Медіаною випадкової величини є значення Х , для якого

Мода випадкової величини — це таке значення ВВ, імовірність якого найбільша.

3. ДВВ. Закон розподілу дискретної випадкової величини Х заданий таблицею:

	i-j-2	i-j-1	i-j	i-j+1	i-j+2	i-j+3

а) побудувати багатокутник розподілу;

б) записати інтегральну функцію розподілу та побудувати її графік;

в) обчислити числові характеристики Позначити на графіку багатокутника розподілу;

г) знайти ймовірність попадання ВВ в інтервал ( .

Нехай i = 4, j = 5.

Маємо закон розподілу:

	-3	-2	-1	0	1	2
	0,167	0,119	0,214	0,167	0,190	0,143

Зауваження. Ймовірності краще перерахувати у десятинні дробі. Але при округленні (бажано до трьох знаків) треба переконатися, що

.

а) Багатокутник розподілу заданої ДВВ.

б) Інтегральна функція розподілу і пояснення розрахунків. Кожне наступне значення функції розподілу знаходять додаванням до попереднього значення ймовірності з таблиці.

Обчислення у простих дробах.

Обчислення у десятинних дробах.

Будувати графіки краще, якщо функції обчислені в десятинних дробах.

в) Обчислення числових характеристик.

Математичне сподівання (середнє значення):

Дисперсія:

Спочатку рахуємо математичне сподівання квадрата випадкової величини:

.

Від нього віднімаємо квадрат математичного сподівання випадкової величини:

Середнє квадратичне відхилення

Мода тому що це значення ВВ має найбільшу ймовірність.

г) знайдемо ймовірність попадання ВВ в інтервал за допомогою правила додавання (Завдання 1, Приклад 1), тому що ВВ у заданому інтервалі може приймати значення або -1, або 0, або 1, або 2 з відповідними ймовірностями із закону розподілу:

3. НВВ. Задано функцію розподілу неперервної випадкової величини X:

а) знайти щільність розподілу f(x) випадкової величини Х ;

б) побудувати графіки функцій F(x) та f(x),

в) обчислити числові характеристики .

г) знайти ймовірність попадання ВВ в інтервал .

Нехай i=3, j=6.

Функція розподілу має вигляд:

а) Щільність розподілу випадкової величини

б) Графіки.

Функція щільності розподілу буде прямою лінією для , і буде дорівнювати нулю для усіх інших значень ВВ . Знайдемо точки для зображення прямої: і .

Неважко перевірити, що функція розподілу має значення: и . Між ними знаходиться парабола, бо функція надана квадратичною залежністю.

в) Числові характеристики.

=

Дисперсію обчислюємо за формулою Спочатку вираховуємо математичне сподівання квадрата випадкової величини:

Тепер маємо

=0,244.

г) знайдемо ймовірність попадання ВВ в інтервал за допомогою функції розподілу: ;

Або за допомогою функції щільності розподілу ( при ):