Завдання 7 довідка 7. Незалежні повторні випробування. Формула бернуллі і асимптотичні формули обчислення ймовірностей

Нехай проводяться n випробувань, у кожному з яких подія А може відбутись з імовірністю , або не відбутись з імовірністю

.

Якщо ймовірність події у кожному випробуванні не залежить від того, відбулась вона в інших випробуваннях чи ні, то такі випробування називаються незалежними щодо події А.

Для розв’язування задач на повторні незалежні випробування застосовують такі формули і теореми.

• Формула Бернуллі. Імовірність того, що в n незалежних випробуваннях, у кожному з яких імовірність , подія А відбудеться k раз, подається так:

.

Формулу рекомендується застосовувати, якщо

• Найімовірніша кількість. Число настання події А в n незалежних повторних випробуваннях називається найімовірнішою кількістю (появи цієї події), якщо їй відповідає найбільша ймовірність. Воно визначається за формулою:

.

Зауважимо, що можна отримати одно або два найімовірніших числа.

• Локальна теорема Лапласа. Імовірність того, що в n незалежних випробуваннях, у кожному з яких , подія А відбудеться k раз, подається такою наближеною залежністю:

де – стандартна функція, для якої є спеціальні таблиці. Ця функція парна: .

Локальна теорема Лапласа дає змогу асимптотично (приблизно) обчислювати ймовірності , якщо n > 10 i p > 0,1.

• Формула Пуассона ( Закон рідких подій ). Якщо в кожному з n незалежних повторних випробувань , причому , а n велике, то

• Інтегральна теорема Лапласа. Імовірність того, що подія А відбудеться від до раз при проведенні n незалежних випробувань, у кожному з яких подія А відбувається з імовірністю р, подається формулою:

Тут – інтеграл або інтегральна функція Лапласа. Значення функції Лапласа наводяться у спеціальних таблицях. Ця функція непарна:

3. Проведено n незалежних випробувань, в кожному з яких подія А з’являється з імовірністю р. Визначити імовірність того, що подія А з’явиться:

a) рівно k разів,

b) не менш ніж k₁ і не більш ніж k₂ раз (від k₁ до k₂ разів).

c) знайти найімовірнішу кількість випробувань, в яких з’явиться подія А.

Якщо ↓, то →	n	k	k1	k2	р
і≤5; j<5	і+j+4	і	і+1	і+3	0,(і+j+1)
і 5; j≥5	j+2	і+3	і	і+2	0,(j-2)
і≥5; j<5	j+7	і-2	і-5	і-3	0,(j+3)
і≥5; j≥5	і+j-6	і-4	і-3	і-1	0,(і+j-2)

де і, j – останні дві цифри номера студентського білета.

Нехай і=7, а j=3. Обираємо в таблиці відповідний рядок (третій) і вираховуємо потрібні величини:

і≥5 , j<5	n	k	k1	k2	р
	10	5	2	4	0,6

a) Користуємося формулою Бернуллі .

.

b)

c) За формулою: маємо

або Єдине ціле число на цьому проміжку и буде найімовірнішою кількістю випробувань, в яких з’явиться подія А.

3. Цех має 6 витяжних обладнань. Імовірність того, що на даний момент обладнання включено, дорівнює 0,7. Знайти імовірність того, що на даний момент включено більше чотирьох обладнань.

Користуємося формулою Бернуллі .

3. Партія із 10 000 виробів має 20 бракованих. Обчислити імовірність того, що серед навмання вибраних 50 виробів буде рівно 2 бракованих.

Подія А – навмання вибраний виріб бракований.

- дуже мала, треба користуватися формулою Пуассона (закон рідких подій):

Маємо n=50, k=2, p=0,002, np =50 0,002=0,1.

=

3. Імовірність влучення стрілком у мішень при одному пострілі дорівнює 0,75. Обчислити ймовірність того, що при 100 пострілах буде рівно 70 влучень; не більше 70 влучень.

a) Подія А – стрілок влучить у мішень. – кількість випробувань велика, а ймовірність . Треба визначити ймовірність .

За локальною теоремою Лапласа

Спочатку знайдемо .

За таблицею

b) Треба визначити ймовірність , це можна зробити, скориставшись інтегральною теоремою Лапласа:

Обчислюємо

Значення знаходимо в таблицях функції - інтеграла Лапласа.