4.1.2. Модель на основе временной зависимости между затратами ресурсов на нир и окр

Пусть в период t в подразделении выполняются НИР в объеме , где H_t - число выполняемых НИР, - средние затраты на одну НИР. Тогда на ОКР в этом же периоде остается ресурсов, где R_t – ресурсы подразделения в период t . Если - средние затраты на одну ОКР в единицу времени, то в период t в подразделении могут выполняться работы в среднем по ОКР.

Если в одном и том же подразделении предприятия выполняются и НИР и ОКР, то очевидно, что чем больше было затрачено ресурсов на отработку макетных и экспериментальных образцов в процессе НИР, тем меньше потребуется ресурсов на отработку опытных образцов при выполнении ОКР. Это влияние НИР на ОКР может проявляться, вообще говоря, не сразу, а спустя некоторый период, определяемый продолжительностью выполнения соответствующих этапов ОКР в других подразделениях - соисполнителях этих ОКР.

Таким образом, величина есть некоторая функция затрат ресурсов, выделенных на НИР k периодов назад, т.е.

(1)

Исходя из характера принимаемого во внимание влияния НИР на ОКР, можно предположить, что эта функция представляет собой перевернутую S- образную кривую. С достаточной для практики точностью можно аппроксимировать эту функцию перевернутой логистической кривой.

Считая, что число выполняемых в каждом периоде НИР известно (оно обычно мало меняется от периода к периоду), задачу распределения ресурсов между НИР и ОКР можно теперь сформулировать следующим образом:

; (2)

(3)

(4)

(5)

Максимизируемый функционал (2) представляет собой среднее количествоОКР, выполненных за Т периодов, где Т- рассматриваемый плановый горизонт. В качестве управляемых переменных выступают затраты на НИР в периоды t=1,2, ..., Т. Условие (3) означает, что в любой период t суммарные затраты на НИР не могут превзойти ресурсные возможности подразделения. Условие (4) означает, что известны затраты ресурсов на НИР в периоды, отстоящие от исходного (t=l) на 1,2,..., (k+1) интервалов времени назад. Наконец, условие (5) означает, что известны средние затраты ресурсов на одну ОКР в периоды T+1, Т+2, T+k+1. Знание их необходимо для того, чтобы ограничить нижний предел величины Н_tr_t^H для t= T-k , ..., T. Из (2) непосредственно следует, что при отсутствии условий (5) значения Н_tr_t^H для t =T-k, …, Т, оптимизирующие (2), равны 0, т.е. в эти периоды не будут совсем проводиться НИР.

Для заданного планового горизонта можно произвольно выбирать значения Н_tr_t^H только для первых ( Т - k - 1) периодов, так как значения Н_tr_t^H для остальных ( k+1) периодов определены условиями (5). Эти Н_tr_t^H изменяют значения средних затрат на одну ОКР для последних (T - k - 1) периодов, так как значения средних затрат на одну ОКР для первых ( k+1) периодов определены условиями (4). Поэтому задача (2)-(5) имеет нетривиальное решение только для Т > k+1.

При построении рекуррентного соотношения используем метод математической индукции.

Обозначим через максимально возможное среднее количество ОКР, которое можно выполнить за t периодов при условии, что в (t + l), (t + 2), …, (t + k + 1) периодах будет создан научно-технический задел, обеспечивающий возможность выполнения ОКР в эти периоды со средними затратами ресурсов, соответственно равными

Очевидно, что для t=k+1 функция определяется следующим образом:

(6)

где _k+1(…) - функция, обратная (1).

Для t=k+2 эта функция имеет вид

(7)

Сравнивая выражения (6) и (7), замечаем, что в них второе, третье и т.д. до (k+1)-го слагаемые совпадают. Если в (6) положить , то и первые слагаемые в (6) и (7) совпадут, так как .

Отсюда следует, что

(8)

Рассуждая аналогично, по методу математической индукции можно доказать, что имеет место следующее рекуррентное соотношение, справедливое для любого

t (k+1<t Т):

(9)

Задачу (2) - (5) можно решить теперь следующим образом. Используя формулу (6), вычисляем функции для всех значений , определенных с заданной дискретностью. После этого, используя формулу (8), а затем последовательно формулу (9), вычисляем значения функций , полагая t=k+2,…,T-1,T. Для каждого набора переменных фиксируем значение , при котором достигается максимум в выражении (9). Полагая в функции значения переменных равными соответственно , находим решение задачи (2) - (5) и искомое значение , при котором достигается максимум выражения (9). После этого вычисляем значение . По набору переменных в таблице, определяющей функцию , находим соответствующее значение . Затем вычисляем и в таблице, определяющей функцию , находим соответствующее значение , и т.д. до тех пор, пока не дойдем до и не получим значение .

В результате описанной процедуры получаем искомые значения для первых (T-k-1) периодов. Остальные значения вычисляются путем решения уравнений , где _j определяются условием (5).