Методические рекомендации для студентов по изучению курса «Математический анализ» I курс (1-й семестр) Направление: физика

Раздел 1. Понятия множества и отображения. Вещественные числа.

Понятие множества. Операции над множествами, их свойства. Декартово произведение множеств. Отображение множеств. Взаимно однозначные отображения. Эквивалентные множества. Конечные множества. Счетные множества и их свойства. Несчетные множества. Вещественные числа. Свойства рациональных чисел. Вещественные числа и правило их сравнения. Приближение вещественного числа рациональными числами. Множества на числовой прямой. Существование точных граней ограниченных числовых множеств. Несчетность множества действительных чисел.

[2] Гл.2, §7

[1] Гл.2, §1, 2, 3

Контрольные вопросы и задания

1. Какие операции над множествами существуют?

2. Назовите свойства этих операций.

3. Как определяется отображение на множестве? Какое отображение называется инъективным, сюръективным, биективным?

4. В чем состоит различие бесконечных десятичных дробей, представляющих рациональные и иррациональные числа?

5. В каком случае два числа называют равными?

6. Докажите, что есть иррациональное число.

7. Представьте дробь 31,2(88) в виде обыкновенной.

8. Напишите с помощью кванторов определение ограниченного снизу множества. Постройте отрицание этого определения.

9. Дайте определение точной верхней (нижней) грани ограниченного сверху (снизу) множества.

10. Сформулируйте теорему о существовании точных граней числового множества.

Раздел 2. Числовые последовательности.

Ограниченные и неограниченные, бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Сходящиеся последовательности и их свойства. Монотонные последовательности. Признак сходимости монотонной последовательности. Число е. Подпоследовательности числовых последовательностей. Предельные точки последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости последовательности.

[1] Гл.3, §1 – 4

Контрольные вопросы и задания

1. Сформулируйте определения: а) последовательности; б) ограниченной и неограниченной последовательности; в) предела последовательности. Дайте геометрическую интерпретацию этих определений.

2. Какая последовательность называется сходящейся (расходящейся)?

3. Пусть последовательность является ограниченной (неограниченной). Следует ли из этого условия, что она сходится (расходится)?

4. Докажите, что сходящаяся последовательность имеет только один предел.

5. Сформулируйте определения: а) бесконечно малой последовательности; б) бесконечно большой последовательности. Дайте геометрическую интерпретацию этих определений.

6. Является ли бесконечно малая последовательность ограниченной?

7. Является ли бесконечно большая последовательность: неограниченной; сходящейся?

8. Является ли любая неограниченная последовательность бесконечно большой?

9. Назовите свойства бесконечно малой последовательности.

10. Назовите свойства сходящейся последовательности.

11. Сформулируйте: а) определение монотонной последовательности; б) признак сходимости монотонной последовательности.

12. Является ли ограниченность последовательности необходимым и достаточным условием сходимости: а) монотонной последовательности; б) произвольной последовательности?

13. Сформулируйте определения: а) предельной точки; б) верхнего (нижнего) предела последовательности.

14. Дайте геометрическую интерпретацию определения предельной точки.

15. Даны последовательности . Укажите, какая из них: а) имеет предельную точку; б) не имеет предельной точки; в) имеет две предельные точки; г) имеет только одну предельную точку? Есть ли среди этих последовательностей сходящаяся?

16. Сформулируйте теорему Больцано-Вейерштрасса.

17. Сформулируйте определение фундаментальной последовательности. Дайте геометрическую интерпретацию определения.

18. Сформулируйте критерий Коши сходимости последовательности.