3.3. Ориентированные графы

Задание направленности ребер (ориентация ребер) применительно к геометрическим графам можно интерпретировать как направление передвижения по ребру. В случае же абстрактного графа задание направленности означает, что граничные точки каждого ребра отличаются упорядочением, т.е. являются элементами декартового произведения множества вершин самого на себя.

С формальной точки зрения ориентированный граф состоит из непустого множества V, множества А, не пересекающегося с V, и отображения ∆ множества А на V V. Элементы V и А соответственно называются вершинами и дугами (или направленными ребрами), а ∆ – ориентированным отображением инциденций ориентированного графа. Если и ∆ ( ) = (v,w), то говорят, что дуга имеет начальную вершину v и конечную вершину w. Обозначение (v,w) будет употребляться для того, чтобы передать тот же самый смысл там, где ∆ не задано в явном виде. Ориентированные графы будут обозначаться через Д(V, A, ∆) или через (V, A), когда ∆ не задано в явном виде. Если ориентированный граф Д=(V, A, ∆), то соответствующим неориентированным графом для него является граф G = (V, А, Ф), для которого отображение инциденций Ф ( ) = (v & w), если ∆( ) = (v, w). Таким образом, граф G получается из графа Д отбрасыванием требования упорядоченности граничных точек каждой дуги. Структурные тормины, введенные для неориентированных графов, применимы также и к ориентированным графам. Говорят, что два ориентированных графа изоморфны, если их соответствующие неориентированные графы изоморфны в обычном смысле и, кроме того, граничные точки каждой пары соответствующих дуг упорядочены одинаковым образом.

Формально ориентированные графы Д=(V, A, ∆) и Д^/=(V^/, A^/, ∆^/) называются изоморфными, если элементы V и A могут быть поставлены во взаимно однозначное соответствие с элементами V^/ и A^/ таким образом, что ∆^/( ) = (v, w), тогда и только тогда, когда ∆( ) = (v, w), где и w^/ обозначают соответственно образы v и w. Таким образом, два ориентированных графа (рис.3.9,а,б) изоморфны, а граф на рис.3.9в не изоморфен им, хотя в неориенти­рованном смысле они все изоморфны.

Рис. 3.9

С введением ориентация необходимо ввести и некоторые новые термины, описывающие локальную структуру графов [10, 12]. Если и то дуги и называются строго парал­лельными. Если то и не строго параллельны. Дуга считается положительно инцидентной ее конечной вершине w. Число дуг, положительно инцидентных вершине v, называется положи­тельной степенью v и обозначается Отрицательная степень v определяется аналогично и обозначается через (Ориен­тированная петля, инцидентная v, считается положительно и отрица­тельно инцидентной с v.), Очевидно . Учитывая, что каждая дуга положительно инцидентна одной вершине и отрица­тельно инцидентна также одной вершине, получаем

где – число дуг графа.

Ориентированный граф называется обыкновенным, если он не имеет строго параллельных дуг и петель. Заметим, что если обыкновен­ный ориентированный граф имеет параллельные, но противоположно ори­ентированные дуги, то соответствующий неориентированный граф уже не будет обыкновенным в неориентированном смысле, так как он со­держит параллельные ребра. Рассмотрим новые термины, связанные с введением направления на дугах.

Ориентированным маршрутом длины n является последователь­ность (не обязательно различных) дуг таких, что для соответствующей последовательности n + 1 вершин справедливо для = 1, 2, ..., n. Например, на рис.3.10 последовательность образует ориентированный маршрут длиной 4 (соответствующая последовательность вершин ).

Рис. 3.10	Рис. 3.11

Ориентированный маршрут называется замкнутым, если v₀ = v_n, и незамкнутым, если v₀ ≠ v_n. Очевидно, незамкнутый (замкнутый) ориентирован-ный маршрут в ориентированном графе определяет соответствующий незамкнутый (замкнутый) маршрут в соответствующем неориентированном графе (обратное, вообще говоря, неверно). Например, на рис.3.10 последовательность определяет незамкнутый маршрут в неориентиро-ванном графе, соединяющий v₂ и v₄, ориентированного маршрута ему соответствующего нет. Ориентированный маршрут, в котором нет повторяющихся дуг, называется путем, или контуром (ориентированным циклом), в зависимости от того, является ли он замкнутым или нет. Если все вершины различны (в этом случае дуги также различны), то путь, или контур, также называется простым. Ориентированный граф называется циклическим, если он содержит хотя бы один контур, и ациклическим в противном случае. (Заметим, что петля является специальным видом контура).

Ориентированный граф называется сильно связным, если для каждой пары различных вершин v и w существует путь из v в w и из w в v. Очевидно, что сильная связность ориентированного графа означает связность соответствую-щего неориентированного графа. Обратное, вообще говоря, неверно. На рис.3.11 граф Д, сильно связен, а граф Д₂ не является таковым, хотя в неориентированном смысле оба графа связаны.

Ориентированный граф называется сильно k-связным; если для каждой пары различных вершин существует ,по крайней мере, k путей из v в w, которые не имеют общих вершин, за исключением v и w. Для того чтобы ориентированный граф был сильно k-связен, очевидно, необходимо, но недостаточно, чтобы соответствующий неориентированный граф был k-связным в неориентированном смысле. При использовании терминов "дерево", "лес", "разделяющее множество", "разрез" и "простой разрез" без специальной оговорки считается, что направление дуг не учитывается, и рассматривается соответствующий неориентированный граф. Однако при учете направления дуг возникает несколько дополнительных поня­тий. Ориентированный граф является ориентиро­ванным деревом, растущим от корня v₀, если: 1) он образует дерево в неориентированном cмысле; 2) единственная цепь между v₀ и любой другой вершиной w являет путем из v₀ к w. На рис. 3.12 показано дерево (утолщенные дуги), покрывающее граф G.

Рис. 3.12

Как известно, удаление простого разреза разделяет граф точно на две компоненты. В ориентированном графе дуги разреза могут быть разделены на два множества: дуги, направленные из W к W', и дуги, направленные из W' к W (рис.3.13). Удаление первого множества разрывает все пути из W к W´, в то время как удаление последнего разрывает все пути из W' к W. Если Д сильно связен, то оба ориентирных разреза для любого разбиения {W, W'} всегда будут непустыми. С помощью ориентированных графов можно представлять би­нарные отношения.

Рис. 3.13

Если р является бинарным отношением на множестве S, то граф отношения р, обозначаемый через Д_р, является ориентированным графом, вершины которого есть элементы S, такие, что существует дуга тогда и только тогда, когда spt . Обратно, если - ориентированный граф, не имеющий строго параллельных дуг, то бинарное отношение р_Д, соответствующее Д, является бинарным отношением на множестве V, таким, что тогда и только тогда когда

Таким образом, ориентированный граф является исчерпывающей формой представления, отношения, т.е. он полностью перечисляет все пары, для которых рассматриваемое отношение имеет место. Например, граф рис.3.14 является одним из возможных представлений отношений включения , определенного на подмножествах множества, содержащего три элемента. Вершины отождествляются с соответствующими подмножествами множества В общем случае понятие ориентированного графа является более общим, чем бинарное отношение, так как позволяет использовать для отражения количественной характеристики степени связности переменное число строго параллельных дуг (в потоковых моделях – пропускную способность).

Рис. 3.14

Воспользуемся для описания специального класса ориентированных графов, не имеющих строго параллельных ребер, некоторой терминологией бинарных отношений. Рефлексивным графом (рис.3.15) называется граф, имеющий петлю в каждой вершине.

Рис. 3.15	Рис. 3.16

Симметрическим графом (рис.3.16) называется граф, в котором каждой дуге соответствует дуга

Транзитивным графом (рис.3.17) называется граф, в котором существование дуг и означает существование дуги Из этого следует, что в транзитивном графе существование любого пути из вершины v в вершину у означает существование дуги из v в у.

Рис. 3.17

После введения бинарного отношения можно сделать дальнейшее обобщение понятия отношения, дать более строже определения ранее введенным понятиям модели и рассмотреть практическое применение алгебры отношений для построения информационного обеспечения автоматизирован-ных систем.