4.4. Логические исчисления

В современной математике большое распространение получил так называемый аксиоматический метод. Сущность его состоит в своеобраз­ном способе определять математические объекты и отношения между ни­ми. Предположим, что, изучая систему каких-то объектов, мы употреб­ляем определенные термины, выражающие свойства этих объектов и от­ношения между ними. При этом мы не определяем ни самих объектов, ни этих свойств и отношений, но высказываем ряд определенных утверж­дений, которые должны для них выполняться. Очевидно, что эти ут­верждения выделяют из всевозможных систем объектов, их свойств и отношений между ними такие системы, для которых они выполнены. Та­ким образом, сделанное утверждение можно рассматривать как опреде­ление системы объектов определенного класса, их свойств и отноше­ний между ними. Рассмотрим пример.

Пусть дана система каких-то объектов, которые мы будем обоз­начать буквами латинского алфавита, и между ними установлено отно­шение, выражаемое термином "предшествует". Не определяя ни объек­тов, ни отношений "предшествует", мы высказываем для них следующие утверждения:

1) никакой объект не предшествует сам себе;

2) если х предшествует у, а у предшествует z , то х пред­шествует z .

Нетрудно видеть, что существуют такие системы объектов, с та­кими отношениями между ними, что если под термином "х – предшеству­ет у" понимать данное отношение, то наши утверждения окажутся ис­тинными. Пусть, например, объектами х, у, ... являются действительные числа, а отношение "х предшествует у" представляет собой "х меньше у"

Здесь утверждения 1 и 2 выполняются.

Системы объектов с одним отношением, для которых положения 1 и 2 выполнимы, образуют определенный класс, а положения 1 и 2 мы мо­жем рассматривать как определение систем этого класса. Утверждения, посредством которых мы таким образом выделяем совокупность объектов, носят название аксиом. Делая логические выводы из аксиом, мы будем получать утверждения, справедливые для любой системы объектов, удов­летворяющих данным аксиомам. Более значительным примером аксиомати­ческого определения является система аксиом геометрии. Соответствие между аксиомами и предметами реального мира всегда имеет приближен­ный характер. Если мы, например, поставим вопрос, удовлетворяет ли реальное физическое пространство аксиомам геометрии Эвклида, то пред­варительно мы должны дать физическое определение геометрических терминов, содержащихся в аксиомах, как то: "точка", "прямая", "плос­кость" и др., т.е. указать те физические обстоятельства, которые этим терминам соответствуют. После этого аксиомы превратятся в физи­ческие утверждения, которые можно подвергнуть экспериментальной проверке. После такой проверки мы можем ручаться, за истинность наших ут­верждений с той точностью, какую обеспечивают измерительные прибо­ры [17].

В общем случае интерпретации систем аксиом черпаются из круга математических понятий. Самым мощным источником интерпретаций для всевозможных систем аксиом является теория множеств. Однако и здесь возникает вопрос: является ли теория множеств вполне надежным осно­ванием для аксиоматического метода? На этот вопрос мы частично от­ветим, рассмотрев два наиболее важных исчисления – исчисление выс­казываний и исчисление предикатов, являющихся основой построения сов­ременных систем баз знаний [18, 19].

Под высказыванием будем понимать, как и ранее, утверждение, относительно которого в любой момент можно сказать, является оно ис­тинным или ложным, или, по крайней мере, предполагать, что ему мо­жет быть приписана такая интерпретация, В 4.1 были изложены основ­ные законы алгебры высказываний, которую мы называем булевой. Здесь мы рассмотрим аксиоматическую логическую систему, адекватную алгеб­ре высказываний и называемую исчислением высказываний (ИВ). Остано­вимся на ней более подробно, так как исчисление высказываний входит как составная часть во все другие логические исчисления. Описание всякого исчисления заключает в себе описание символов этого исчисления (алфавита), формул, являющихся конечными конфигурациями сим­волов, и после этого определение истинных формул. Зададим алфавит ИВ:

где переменные высказывания; логические связки (смысл тот же, что и в алгеб­ре высказываний); скобки; секвенция. Сек­венциями называются выражения вида (где любые формулы). где n > 0 ("Из следует ") (" доказуемо"). где n > 0 ("система противоречива"). Формулы ИВ представляют собой конеч­ные последовательности символов алфавита. Для обозначения формул будем употреблять большие готические буквы Эти буквы не яв­ляются символами исчисления. Они представляют собой только услов­ные сокращенные обозначения формул. Полное определение формул име­ет рекурсивный характер: указываются некоторые исходные формулы и затем правила, позволяющие из формул образовывать новые формулы. Смысл этого определения состоит в том, что под формулой мы будем понимать такие и только такие строчки, которые могут быть образова­ны из исходных формул путем последовательного применения указанных в определении правил образования новых формул. Определение фор­мулы:

а) переменное высказывание есть формула;

б) если и – формулы, то строчки

(4.16)

также формулы.

В этом определении в а) указываются исходные формулы, которые здесь, представляют собой переменные высказывания. Будем их назы­вать элементарными формулами (атомами). В б) указываются правила, Позволяющие из полученных формул образовывать новые. Таким образом, понятие формулы определено. Приведем примеры.

Переменные высказывания А и В есть формулы в силу а). Следо­вательно, на основании б) (А→В) и ( ( А→В)) (А В) также фор­мулы. Чтобы доказать, что приведенная нами для примера строчка есть формула, мы должны рассуждать так. Так как А и В – формулы, то и (А→В) также формулы. Так как и ( А→В) формулы, то ( (А→В)) также формула. Так как А и В формулы, то (А В) также формула. Так как ( ( А→В)) и (А В) формулы, то ( ( А→В)) (А В) также формула. Отсюда видно, что для доказательства того, что данная строчка является формулой, требуется произвести ее конструкцию по указанной выше схеме (а), б)). Так что при построении формулы мы должны построить все ее части. Точное определение части формулы имеет также рекурсивный характер, связанный с операциями, употребляемыми при конструкции формул. Дадим определение части фор­мулы.

1. Частью каждой элементарной формулы (атома, переменного выс­казывания) является только она сама.

2. Допустим, что определены части формул и . Частями формулы будут все части формул и и сама формула Также определяются части формул и . Если ввести ранжирование силы связок (связка связывает сильнее, чем v, в v сильнее, чем , то формулы можно в некоторых случаях писать без скобок (если это не противоречит заданному с помощью cкобок порядку выполнения операций). Так, форму будем читать в виде .Кроме того, будем опус­кать внешние скобки. Например, формула запишется в виде будет правильно построенной формулой (ППФ).

Следующим шагом в описании исчисления высказываний будет выде­ление некоторого класса формул, которые мы будем называть истинны­ми или выводимыми в исчислении высказываний. Определение истинных формул имеет такой же рекурсивный характер, как и определение фор­мулы. Сначала определяются исходные истинные формулы, а затем правила, позволяющие из имеющихся истинных формул образовывать новые. Эти правила мы будем называть правилами вывода, а исходные истинные формулы – аксиомами. Образование истинной формулы из исход­ных истинных формул или аксиом путем применения правил вывода бу­дем называть выводом данной формулы из аксиом [17].

Аксиомами исчисления высказываний (ИВ) являются следующие тож­дественные истинные формулы (тавтологии, формулы, истинные при любых значениях входящих в них высказываний и интерпретированные о помощью таблиц истинности логики высказываний):

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

В исчислении высказываний следует два основных правила вывода.

1. Правило подстановки. Пусть формула содержит переменное высказывание А. Тогда если истинная в ИВ формула, то, заменяя в ней букву А всюду, где она входит, правильной формулой полу­чаем истинную формулу.

2. Правило заключения. Если и истинные формулы в исчислении высказываний, то также истинная формула.

Пример. Покажем, что истинная в ИВ формула. Возьмем аксиому 5. Заменим А формулой получим истинную фор­мулу Заменим С на А, по­лучим истинную формулу Видим, что представляет аксиому 4 и является истинной. Поэтому, применяя правило заключения, получаем истинную формулу Посылка этой формулы является аксиомой 3 и поэтому есть истинная формула. Применяя правило заключения, по­лучаем требуемую формулу

Из основных правил вывода и аксиом можно вывести ту или иную формулу или ее отрицание. Но вместо того, чтобы истинные формулы в ИВ выводить из аксиом, применяя непосредственно правила вывода, мы изберем более краткий путь, доказав теорему дедукции.

Будем считать, что формула выводима из формул если формулу можно вывести только путем правила заключения (его будем записывать в виде приняв за исходные формулы и все истинные в ИВ формулы.

Точное определение выводимости формулы из формул называемых исходными, формулируется следующим образом:

а) каждая формула выводима из формул

б) каждая истинная в ИВ формула выводима из

в) если формулы и выводимы из то формула также выводима из

Утверждение, что формула выводима из будем за­писывать с помощью секвенций [17]:

Теорема дедукции: если формула выводима из формул то истинная формула. Докажем сначала, что если то На основе индукции можно провести следующие рассуждения. Докажем, что оно верно, если является либо одной из формул либо истинной формулой ИВ. Случай, когда истинная формула, очевиден. Затем покажем, что если наше утверждение верно для формул и то оно верно для Если совпадает с форму­лой то либо либо і < n. В первом случае истинная формула. Поэтому Пусть і < n, тогда подстановками в аксиому 1 получим последняя формула как истинная формула выводима из формул Но формула также выводима из формул Поэтому формула выводима из формул

Формула

является истинной в ИВ, так как она получается подстановкой в аксиому 2. Поэтому эта формула выводима из Обе посылки этой формулы выводимы (по условию) из Применяя два раза правило заключения, мы получаем формулу , которая, следовательно, также выводима из формул Таким образом, мы доказали, что если то Это утверждение верно и при h = 1. Теперь, применяя проведенное обозначение еще n – 2 раз (обозначая первый раз через через и т.д.), получаем Но можно применить тоже рассуждение еще раз. Тогда получим

чем и доказана теорема дедукции.

С помощью теоремы дедукции довольно несложно доказываются не­спорые теоремы, например

Рассмотрим формулы и Из этих формул только на основании правила заключения можно вывести формулу С. В таком случае, на основании теоремы дедукции заключаем, что истинная формула. Теорема доказана.

Если сделаем подстановку в последнюю формулу, заменив А фор­мулой а то получим истинную формулу

Если формулы и окажутся истинными, то, применяя сложное правило заключения к последней формула, найдем, что формула также истинна. Таким образом, мы получаем правило, ко­торое записывается так:

Это правило носит название правила силлогизма (исключение третьего).

Если обозначить произвольная секвенции, то в общем случае правилом вывода будет называться выражении вида

(4.19)

называется непосредственным следствием по данному правилу вывода.

Обозначим конечные последовательности формул (возможно, пустые), тогда в исчислении высказываний, с учетом расширения алфавита за счет введения секвенций, можно записать следующее производные (сложные) правила вывода [15]:

1) (введение );

2) (удаление );

3) (удаление );

4) (введение );

5) (введение );

6) (удаление );

7) (введение );

8) (удаленеие );

9) (введение – );

10) (сведение к противоречию);

11) (удаление –);

12) (уточнение);

13) (расширение);

14) (перестановка);

15) (сокращение); (4.20)

Таким образом, вывод в ИВ с секвенцией есть конечная последоваельность секвенций i такая, что для каждого есть либо аксиома, либо непосредственное следствие предыдущих секвенций по правилам 1-15. Секвенция называется выводимой в ИВ, если существует вывод в ИВ, оканчивающийся

Одной из важнейших теорем, используемой при автоматизации вы­вода, является теорема эквивалентности: пусть формула (А) содер­жит переменные высказывания А и пусть формулы , и эквивалент­ны. Тогда формулы и получаемые из заменой А соответственно на и также эквивалентны. Точнее

(4.21)

Полное доказательство этой теоремы дано в [9, 17].

Формулы исчисления высказываний можно интерпретировать как формулы алгебры высказываний. Для этого необходимо трактовать свобод­ные переменные исчисления высказываний как переменные алгебры выс­казываний, т.е. переменные в содержательном смысле принимающие зна­чения И и Л (1 и 0). Операции определяются так же, как в алгебре высказываний, тогда всякая формула при любых значе­ниях переменных сама будет принимать одно из значений И или Л (1 или 0), вычисляемое по правилам алгебры высказываний. Все аксиомы ИВ при этом будут всегда принимать значение "истина" (1).

При рассмотрении любого исчисления возникает проблема непроти­воречивости – одна из кардинальных проблем математической логики [9, 17].

Логическое исчисление называется непротиворечивы, если в нам не выводимы никакие две формулы, из которых одна является отрицани­ем другой. Иными словами, непротиворечивое исчисление – это такое ис­числение, что, какова бы ни была формула , никогда формулы и не могут быть одновременно выведены из аксиом этого исчисления с по­мощью указанных в нем правил. Имеет место теорема: исчисле­ние высказываний непротиворечиво. Как мы уже говорили выше, каждую формулу ИВ можно рассматривать в то же время как формулу алгебры высказываний. Покажем, что все формулы, выводимые в ИВ и рассмотренные как формулы алгебры высказываний, являются тождественно истинными, т.е. принимают значение И при всех значениях переменных. Легко не­посредственно проверить, что аксиомы исчисления высказываний таковы. Покажем, что если формула содержащая переменное А, тождест­венно истинна, то и формула получаемая из подстановкой, также тождественно истинна. В самом деле, при всех значениях переменной принимает значение И(1). В таком случае ы(И) и ы(Л) имеют значение И, каковы бы не были значения других переменных. Но при любых, значениях переменных может иметь только значение И или Л. Отсюда следует, что ы( ) всегда будет иметь значение И.

Докажем, что если формулы ы и ы тождественно истинны, то формула также тождественно истинна. Если (ы тождественно истин­на, то она всегда имеет значение И. Так как ы всегда принима­ет значение И, то не может принять значение Л ни при каких зна­чениях переменных, иначе формула приняла бы значение И→Л, которое,по определению следования в алгебре высказываний, есть Л.

Итак, мы показали, что:

– все аксиомы тождественно истинные формулы;

– применяя к тождественно истинным формулам правила вывода, мы получаем такие тождественно истинные формулы.

Отсюда следует, что все выводимые формулы исчисления высказы­ваний, рассматриваемые как формулы алгебры высказываний, являются тождественно истинными. В таком случае, если формула ы выводима в исчислении высказываний, то формула не может быть выводима, так как ы – тождественно истинная формула, a тогда, наоборот, при­нимает значение Л при всех значениях входящих переменных.

При доказательстве непротиворечивости ИВ показано, что всякая формула, выводимая в ИВ, является тождественно истинной, если ее рассматривать как формулу алгебры высказываний. Возникает обратный вопрос: будет ли всякая тождественно истинная формула алгебры высказываний выводима в исчислении высказываний. Этот вопрос и пред­ставляет собой проблему полноты в широком смысле для исчисления выс­казываний, которая решается положительно для ИВ. Не менее важное зна­чение, чем понятие полноты в широком смысле, имеет понятие полноты логического исчисления в узком смысле. Логическое исчисление назы­вается полным в узком смысле, если присоединение к его аксиомам ка­кой-нибудь не выводимой в нем формулы приводит к противоречию. Ис­числение высказываний полно в узком смысле.

Как уже говорилось, всякое логическое исчисление может быть за­дано следующим образом: задается алфавит, определяется понятие фор­мулы и истинной формулы. Это делается путем указания, во-первых, не­которых исходных формул, объявленных истинными и называемых аксио­мами и, во-вторых, правил вывода, с помощью которых из истинных формул можно образовывать новые истинные формулы. Для всякого тако­го исчисления возникает вопрос о независимости его аксиом. Вопрос этот ставится следующим образом: логично ли какую-нибудь аксиому вывести из остальных, применяя правила вывода данной системы? Показано [17], что система аксиом исчисления высказываний независима, т.е. ни одна из аксиом не может быть выведена из других.

Несмотря на такую строгость и замкнутость исчисления высказы­ваний, оно оказывается недостаточным для задания более сложных ло­гических рассуждений, встречающихся при описании реальных ситуаций, особенно при построении систем автоматического вывода. Более полным исчислением, позволяющим решать ряд задач при построении баз знаний, является следующее исчисление – исчисление предикатов (ИП).

Исчисление предикатов включает в себя исчисление высказываний и позволяет устанавливать новые свойства через введение функций на бес­конечных, в общем случае, множествах предметов. Функция F, принимаю­щая одно из значений 0 или 1, аргументы которой пробегают значения из произвольного множества М, называется предикатом. Предикаты, зависящие от одного аргумента х – F(х), описывают свойства предмета и по существу не отличаются от элементарных высказываний. Например, F(x), "х – простое число". F(x) принимает значение 1 (истина) или 0 (ложь) в зависимости от того, что подставим вместо х; F(1) – исти­на, F(8) – ложь. Предикаты от двух переменных задают взаимоотноше­ния двух предметов F(x, y). Например, F(x,у):х > у. Если взять х = 5, у = 2, F (5,2) = 1; х= 5, у = 10, F(5, 10) = 0.

Предикаты от трех и более переменных могут задавать отношения, существующие между тремя и более предметами, например:

1. х – сын, у – отец, z – дед, F(x,y,z) = x есть сын у и внук z или

2. F(x,y,z) = x + y = z или

3. F(x,y,z,u,v) = x + y + z + u + v = 50.

Истинность или ложность предиката как функции зависит от того, какие конкретные значения примут переменные. Предикат можно, таким образом .трактовать как n-арное отношение в множестве М. Предикат если находится в отноше­нии R , определяемом этим предикатом; то эти элементы не находятся в отношении .

Из приведенного понятия предиката как функции, определенной на произвольном множестве М и принимающей два значения И или Л (1 или 0), видно, что введенное понятие позволяет свести большое коли­чество отношений реального мира к понятию предиката. Зададим исчис­ление предикатов как аксиоматическую систему аналогично исчислению высказываний.

Рассмотрим алфавит исчисления предикатов:

предметные переменные;

предметные символы;

функциональные символы;

предметные константы;

логические символы;

вспомогательные символы;

секвенция.

Выражение назовем сигнатурой. Дадим определение терма сигнатуры:

1. Всякая предметная переменная или предметная константа – терм.

2. Если f – функциональная буква и – термы, то – терм. Атомарной формулой сигнатуры назовем произвольное слово где – n-мерный предикатный символ из , – термы сигнатуры .

Дадим определение новым логическим символам которые называются кванторами существования и всеобщности соответственно и служат для упрощения структуры сложных логических рассуждений. Условим­ся обозначать выражение "для всякого элемента свойство R вы­полнено" как а выражение "существует, по крайней ме­ре, один элемент , обладающий свойством R" – как

После этого можно ввести понятие формулы:

1. Атомарная формула есть формула.

2. Если ы и – формулы, то фор­мулы.

3. Если формула, а х – предметная переменная, то формулы.

В выражении формула называется областью действия квантора

Вхождение переменной х в формулу называется связанным, если оно находится в области действия квантора или и сво­бодным в противном случае. Областью действия кванторов или для формул является формула Для формулы областью действия квантора являетоя формула а для квантора формула . Если взять формулу то областью действия квантора будет формула а областью действия как и ранее, формула

Формула ы называется замкнутой формулой или предложением, ес­ли всякое нахождение переменной в ы является связанным. Формула ы сигнатуры назовем тождественно истинной (или тавтологией), если ы истинна при любых значениях свободных переменных. Часть формулы определяется в исчислении предикатов аналогично определению в ис­числении высказываний. Будем говорить, что формула ы семантически следует из множества формул Г (символически Г ы), если для любой алгебраической системы m из истинности в m всех формул из Г при некоторых значениях переменных следует истинность ы в m при тех же значениях переменных. В ИП, как и в ИВ, вводится система аксиом:

1)

2)

3)

4)

5) (4.22)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

В аксиомах А, В, С – любые формулы. В аксиомах 11, 12 F(х) – формула, t – терм, свободный для х в F(x), F(t) – формула, полу­ченная из F(x) заменой всех свободных вхождений х на t.

В связи с введением кванторов для того, чтобы построенные фор­мулы были правильно построенными формулами (ППФ), необходимо:

а) в формуле свободные и связанные переменные обозначать разными буквами;

б) если какой-либо квантор находится в области действия друго­го квантора, то переменные, связанные этими кванторами, обозначать разными буквами.

Кванторы и являются двойственными друг другу и могут быть выражены один через другой:

(4.23)

Как и в случае исчисления высказываний, в исчислении предика­тов вовводятся два основных правила вывода, позволяющие получать истинные формулы. Этими правилами являются правило заключения и пра­вило подстановки. Правило заключения: если G и G → H – истинные формулы, то Н – также истинная формула. Правило подстановки в связи с наличием кванторов, связанных и свободных переменных, зна­чительно сложнее правила подстановки исчисления высказываний. Поэ­тому рассмотрим правило подстановки в переменное высказывание и пе­ременный предикат. В исчислении высказываний формула, в которой за­мещается переменной высказывание в истинной формуле, могла быть произвольной, здесь необходимо наложить некоторые дополнительные ус­ловия на эти формулы, так как иначе в результате подстановки может получиться выражение, даже не являющееся формулой [17, 18].

Замещение перешнного высказывания. Пусть формула содер­жит, переменное высказывание А. Тогда мы можем заменить в формуле ы букву А всюду, где она входит, любой формулой G, удовлетворяющей следующим условиям:

1. Свободные переменные в G обозначены буквами, отличными от связанных переменных в ы, и связанные переменные в G – буквами, отличными от свободных переменных в ы .

2. Если А в ы находится в области действия квантора, обозна­ченного какой-то буквой, то эта буква не входит в G. Такое замеще­ние называется подстановкой формулы G в переменное А.

Пример. Пусть есть формула

В таком случае А нельзя заменить формулой или формулой так как при таком замещении не соблюдено условие 2. Если все же произвести это замещение, то полученная строчка не будет фор­мулой, так как в ней два квантора, один из которых находится в об­ласти действия другого, обозначены одинаковыми буквами. Замещение буква А формулой возможно, так как в этом случае условия 1, 2 выполнены. Полученная в результате тако­го замещения строчка

является формулой.

Замещение переменного предиката. Пусть формула содержит переменный предикат F от n переменных и пусть имеется формула содержащая n свободных переменных (вооб­ще говоря, может содержать и другие переменные), где буквы, отличные от всех предметных переменных формулы ы . Если для формулы соблюдено условие I и еще условие:

3. Если F в ы находится в области действия квантора, связивающего какую-либо букву, то эта буква не входит в то возможна подстановка формулы в ы вместо предиката F. Операция подстанов­ки формулы в формулу ы(F) вместо F (...) представляет собой замещение каждой элементарной формулы вида (где _ какие-то переменные, не обязательно различ­ные), входящей в ы, выражением, полученным из переименованием переменных буквами соответственно, При этом иолжно быть жестко указано, какому из переменных соответствует пустое место в F (...).

Пример. Пусть формула ы имеет вид Требуется произвести подстановку, заменив F формулой ( Пусть при этом первое пустое место в F(...) соответствует переменному t₁, в второе – t₂. Условия 1 и 3 здесь выполнены, и результатом подстановки будет формула

Рассмотрим еще два важных правила: замены свободного предмет­ного переменного и переименование связанных предметных переменных. Пусть формула ы является истинной формулой в ИП и формула ы^/ получена из ы замещением любого свободного предметного переменного другим сво­бодным предметным переменным так, что замещаемое переменное заме­няется одинаковым образом всюду, где оно в формулу ы входит; тог­да ы^/ является истинной формулой исчисления предикатов.

Пример. Рассмотрим формулу

Произведем в ней подстановку в переменное у. Заменив его перемен­ным z, получим формулу

Если формула ы является истинной формулой ИП, то формула ы' полу­ченная из ы замещением связанных переменных другими связанными пе­ременными, отличными от всех свободных переменных формулы ы, также является истинной формулой. При этом замещаемое связанное перемен­ное в формуле ы должно заменяться одинаковым образом всюду в об­ласти действия квантора, связывающего данное переменное, и в самом кванторе.

Операция переименования связанных переменных существенно от­личается от операции подстановки в свободные переменные. Произво­дя переименование связанных переменных, мы уже не обязаны переиме­новывать их всюду, где они входят в формулу ы, а лишь только в об­ласти действия квантора, связывающего данное переменное. Это зна­чит, что такие одинаковые переменные, для которых связывающие их кванторы имеют области действия, не входящие одна в другую, могут переименовываться разным образом или одно из них может переимено­вываться, а другое нет.

Пример. Рассмотрим формулу

Применяя операцию переименования связанных переменных, мы можем

С учетом расширения алфавита исчисления высказываний ввдением секвенций обощенные правила вывода исчисления высказываний с секвенцией формулы (4.20) в исчислении предикатов с секвенцией дополняются следующими правилами вывода [14]:

16) (введение );

17) (удаление );

18) (введение );

19) (удаление ). (4.24)

Здесь ы (t) получается из ы (х) заменой всех свободных вхождений х на t ; Г₄ – конечная последовательность формулы, не содержащая х свободно; Д – формула, не содержащая х свободно; Г – конечная последовательность формул, возможно пустая.

Формулы (4.20) исчисления высказываний полностью входят в чис­ло формул ИП, Правила 16, 18 формул (4.24) обычно называются прави­лами связывания квантором [17, 20, 21].

Вопрос о непротиворечивости исчисления предикатов легко решается в положительном смысле. В отличие от исчисления высказываний ис­числение предикатов является неполным в узком смысле, что легко до­казывается, если интерпретировать квантор существования как конеч­ную или бесконечную дизъюнкцию (в зависимости от мощности множества, на котором определены' предикаты), а квантор всеобщности-как конечную или бесконечную конъюнкцию. Например, для множества

Исчисление предикатов является основой при создании баз зна­ний и основ автоматического вывода. Рассмотрим прикладные вопросы ИВ и ИП при представлении знаний и в автоматическом выводе.