5.4. Системы представителей множеств

Основной идеей комбинаторно-логических задач этого типа является задача нахождения замены системы множеств их представителями. Это, несомненно, позволит ускорить вывод в базе знаний, так как сравнения необходимо будет производить не со всем множеством объектов каждого подмножества, а только с его представителем. Постановка задач этого типа и методы их решения зависят от того, каким требованиям должны удовлетворять эти представители.

Рассмотрим две из наиболее простых задач этого типа - нахождение систем различных представителей и систем общих представителей (С.Р.П., С.О.П.). Типичным примером первой задачи является следующая. Даны пять множеств S₁= {1,2,3}, S₂= { 1,2,4 }, S₃={1,2,5},S₄ ={3,4,5,6}, S₅ ={3,4,5,6]. Требуется выбрать такие различные числа x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, что .Одним из способов выбора является x₁=1, x₂=2, x₃=5, x₄=3, x₅=4. Но если взять множества Т₁={1,2},T₂={1,2}, T₃= {1,2 },T₄={3,4,5,6}, T₅={3,4,5,6}, то такой выбор оказывается невозможным, Возникает вопрос: при каких условиях подмножества Si, i=1, 2,…,n, множества S обладают различными представителями x_i;i=1;…,n т.е. и если. . Заметим, что ^;не требуется, чтобы Si и Sj с были различными подмножествами множества S. Ответ на этот вопрос дает теорема Ф.Холла [23,24]. Пусть, имеются n-множество S и его булеан В (S). Пусть - некоторая m-выборка из B(S) и некоторая m-выборка из S.

Подмножества S₁,S₂,..., S_m имеют С.Р.П, тогда и только тогда,, когда объединение любых k из этих множеств содержит не менее k элементов. Необходимость очевидна. Достаточность этого утверждения дается следующей т е о р е м о й, задающей одновременно и нижнюю грань для числа различных представителей.

Пусть семейство M={S₁,S₂,…;S_m} удовлетворяет необходимому условию существования С.Р.П., и пусть каждое из множеств S₁,S₂,...,S_m состоит не менее чем из t элементов. Тогда: а) если , то М имеет не меньше, чем t! С.Р.П.; б) если t >m, то М имеет не менее, чем t!/(t-m)! С.Р.П. Доказательство этого утверждения методом индукции дано в [23], и мы не будем на нем останавливаться, а остановимся на практической реализации решения задачи выбора С.Р.П., так как практически очень трудно проверить, выполняются ли в данном конкретном случав условия теоремы Ф.Холла, которую можно отнести к теоремам существования. Теоремы существования чаще всего появляются там, где бывает трудно или невозможно найти алгоритм, приводящий к нахождению решения. Алгоритм, который позволяет подобрать С.Р.П. для конечного числа множеств или показать, что такой системы не существует для данного набора множеств, дал М.Холл [23, 24]

Рассмотрим n множеств S₁,S₂,…,S_n. Найдем для них С.Р.П. или покажем, что ее найти нельзя. Произвольно выберем элемент первого множества качестве его представителя. Поочередно будем выбирать представителей других множеств , заботясь только о том, чтобы все они были различны. Если мы доведем этот процесс до включительно, то получим искомую С.Р.П. Может случиться, чтo на r-м шаге мы дойдем до некоторога t-множества S_r все элементы которого b₁,b₂,…,b_t уже были представителями других множеств. Это, однако, еще не означает, что С.Р.П. не существует. Будем брать поочередно все те множества, представителями которых являются элементы bi(i=1,2,…) и удалять из них все элементы последовательности b₁,b₂,..,b_t а оставшиеся приписывать в конец этой последовательности. Так будем поступать до тех пор, пока не случится одно из двух: либо 1) мы достигнем элемента b_i, который не может служить представителем, 2) последовательность исчерпывается элементами b₁,b₂,…,b_s как представителями множеств, В случае 2) С.Р.П. не существует. В самом деле, элементы b₁,b₂,…,b_s являются представителями S множеств, и по построению каждый, элемент этих S множеств содержится. в данной последовательность. Но тогда эти S множеств ,а также множество S_r образуют S+1 множеств, которое содержат только S различных элементов, что противоречит условию теорем существует С.Р.П., Ф.Холла.

В случае 1) на некотором этапе мы находим элемент ,не являющийся до сих пор представителем. Это означает, что представителем S_j1 уже был выбран другой, элемент , Если i₂>t, то значит представителем которого является b_i3(i_3<i₂).Таким образом, возникает последовательность индексы которой убывают , причем в этой последовательности каждый ее член входит в множество, представителем которого является следующий член. Заменяем представителей, выбирая элементы: bi₁ для S_j1,b_i1 для Sj2,…b_im-1, для S_jm-1 .Элемент b_im в результате этой замены освобождается для выбора в качестве представителя S_r,. Итак, S₁,...,S_r имеют различных представителей, и мы можем следовать тем же путем, имея в виду либо возможность дойти до S_n и получить полную С.Р.П., либо встретить случай 2) и установить не существование С.Р.П. Заключение о числе С.Р.П. получается из приведенного алгоритма как следствие.

Рассмотрим решение задачи нахождения общих представителей (С.О.П.). Пусть даны два различных разбиения одного и того же множества S на К непустых составляющих:

Если существует подмножество 0 множества S состоящее из k элементов, и такое, что его пересечение с любым из составляющих не пусто (O∩A_i≠Ǿ,O∩B_i≠Ǿ,i=1,2,…,k) то оно называется системой общих представителей (С.О.П.) данных разбиений. При этом каждое из пересечений оказывается состоящим только из одного элемента. Попарно взятые множества первого и второго разбиений, подобранные, если надо, соответстзующим образом, имеют один и только один общий элемент который и является их общим представителем обязательно, чтобы соблюдалось требование существования только одного общего элемента. Можно ставить условия: существование заданного числа общих элементов, заданного множества их. Критерий существования или не существования С.О.П. близок к критерию, применяемому к С.Р.П. Два разбиения множеств тогда и только тогда имеют С.О.П., когда объединение любых m из множеств A_i пересекаются не менее чем с m из множеств B_j, где m = I, ... k.

Понятие о представителях множеств и о системах представителей находит в математике многочисленные приложения: теория сетей, допустимость потоков и др. Нахождение общих представителей может быть использовано при построении доказательств с помощью нечетких множеств. Несомненно, и другие разделы комбинаторно-логических методов будут использованы при построении систем искусственного интеллекта.