1. Полиномиальная интерполяция

Функция interp1 осуществляет одномерную интерполяцию – важную операцию в области анализа данных и аппроксимации кривых. Эта функция использует полиномиальные методы, аппроксимируя имеющийся массив данных полиномиальными функциями и вычисляя соот-ветствующие функции на заданных (желаемых) точках. В наиболее общей форме эта функ-ция имеет вид

yi = interp1(x, y, xi, method)

где y есть вектор, содержащий значения функции; x – вектор такой же длины, содержащий те точки (значения аргумента), в которых заданы значения y; вектор xi содержит те точки, в ко-торых мы хотим найти значения вектора y путем интерполяции; method – дополнительная строка, задающая метод интерполяции. Имеются следующие возможности для выбора мето-да:

• Ступенчатая интерполяция (method = 'nearest'). Этот метод приравнивает значение функ-ции в интерполируемой точке к ее значению в ближайшей существующей точке имеющихся данных.

• Линейная интерполяция (method = 'linear'). Этот метод аппроксимирует функцию между любыми двумя существующими соседними значениями как линейную функцию, и возвр-ащает соответствующее значение для точки в xi (метод используется по умолчанию).

• Интерполяция кубическими сплайнами (method = 'spline'). Этот метод аппроксимирует ин-терполируемую функцию между любыми двумя соседними значениями при помощи куби-ческих функций, и использует сплайны для осуществления интерполяции.

• Кубическая интерполяция (method = 'pchip' или 'cubic'). Эти методы идентичны. Они ис-пользуют кусочную кубическую Эрмитову аппроксимацию и сохраняют монотонность и форму данных.

Если какой-либо из элементов вектора xi находится вне интервала, заданного вектором x, то выбранный метод интерполяции используется также и для экстраполяции. Как альтернатива,

функция yi = interp1(x, y, xi, method, extrapval) заменяет экстраполированные значения теми, которые заданы вектором extrapval. Для последнего часто используется нечисловое значение NaN.

Все методы работают на неравномерной сетке значений вектора x .

Рассмотрение скорости, требуемой памяти и гладкости методов. При выборе метода ин-терполяции всегда нужно помнить, что некоторые из них требуют большего объема памяти или выполняются быстрее, чем другие. Однако, вам может потребоваться использование лю-бого из этих методов, чтобы достичь нужной степени точности интерполяции (гладкости результатов). При этом нужно исходить из следующих критериев.

• Метод ступенчатой аппроксимации является самым быстрым, однако он дает наихудшие результаты с точки зрения гладкости.

• Линейная интерполяция использует больше памяти чем ступенчатая и требует несколько большего времени исполнения. В отличие от ступенчатой аппроксимации, результирующая функция является непрерывной, но ее наклон меняется в значениях исходной сетки (исход-ных данных).

• Кубическая интерполяция сплайнами требует наибольшего времени исполнения, хотя тре-бует меньших объемов памяти чем кубическая интерполяция. Она дает самый гладкий ре-зультат из всех других методов, однако вы можете получить неожиданные результаты, если входные данные распределены неравномерно и некоторые точки слишком близки.

• Кубическая интерполяция требует большей памяти и времени исполнения чем ступенчатая или линейная. Однако в данном случае как интерполируемые данные, так и их производные являются непрерывными.

Относительные качественные характеристики всех перечисленных методов сохраняются и в случае двух- или многомерной интерполяции.