5. Схемы главных напряжений

Выделим в напряженном теле кубик со сколь угодно малыми гранями, перпендикулярными к главным направлениям. Грани кубика будут главными площадками. При уменьшении размеров-кубика он превратится в точку и напряжения на его гранях бу­дут напряжениями в точке.

Графическое представление о наличии и знаке глгвных нор­мальных напряжений в точке называют схемой напряженного состояния. Понятие о схемах главных напряжений в теории обра­ботки металлов давлением ввел С. И. Губкин.

По классификации С.И.Губкина можно указать 9 механических схем напряжений при ОМД (рис.): 29 схемы линейного напряженного состояния – схемы растяжения и сжатия (Л); 3 схемы плоского напряженного состояния (П) и 4 схемы объемного напряженного состояния (О)

Рис.9. Механические схемы напряжений при ОМД: а – линейная, б – плоская, в – объемная.

Схемы, имеющие напряжения одного знака (минус — сжатие или плюс — растяжение), называют одноименными, а разных знаков — разноименными. Одноименные схемы: две линейные, две плоские и две объемные; раз­ноименные схемы: одна плоская и две объемные.

Схемы главных напряжений можно разложить на две — схе­му шарового тензора и схему девиатора. Схем шарового тензора может быть только две — схема равномерного сжатия и схема равномерного растяжения (рис. 8 -10). Гидростатическое давление σ_ср как среднее арифметическое главных напряжений всегда меньше максимального и больше минимального главных напря­жений: σ₁ > σ_ср > σ₃

Поэтому составляющая девиатора в направлении оси / бу­дет положительная, а в направлении оси 3 отрицательная:

Составляющая девиатора по направлению оси 2 может быть больше и меньше нуля; в частном случае она может быть равна нулю, когда Следовательно, всего будет три схемы девиатора напряжения (рис. 10): две объемные и одна плоская.

Рис.11. Схемы девиатора напряжений

Если максимальная по абсолютной величине составляющая девиатора сжимающая, то схему девиатора называют девиаторной схемой сжатия (рис. 9, а), а если растягивающая — девиа-торной схемой растяжения (рис. 9, в).

Если одна из составляющих девиатора равна нулю, схему называют девиаторной схемой сдвига (рис. 9,6). В этом случае составляющие по двум остальным осям равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку.

6. Дифференциальное уравнение равновесия.

В теле, находящемся в напряженном состоянии, величина на­пряжений изменяется от точки к точке и является непрерывной функцией координат. Определим условия равновесия бесконечно малого параллелепипеда с ребрами dx, dy и dz, параллельными осям координат х, у, z (рис. 10), не являющимся главными. На­пряженное состояние точки а с координатами х, у, z определяет­ся напряжениями, действующими на гранях abcd, adb'c' и abd'c', и соответствующим им тензором напряжений:

Напряженное состояние в точке а' определяется напряжени­ями, действующими на площадках . Эти напряжения отличаются от соответствующих напряжений в точ­ке а бесконечно малыми значениями. Интенсивность изменения напряжений при переходе от точки а к точке а' по какой-либо оси выражается частной производной этого напряжения по соответ­ствующей координате. Так, интенсивность изменения по х

Рис. 11. Напряжения на гранях бесконечно малого параллелепипеда

После раскрытия скобок и сокращения на dxdydz получаем одно из уравнений равновесия. Проектируя силы на оси х, у и z, получаем дифференциальные уравнения равновесия, которые содержат 9 неизвестных функций.

Благодаря свойству взаимности касательных напряжений, число неизвестных функций сокращается до 6 и все же задача определения напряжений является статически неопределимой. Для решения задачи вводят дополнительные уравнения, которые получают из рассмотрения физических свойств деформируемых материалов, в которых установлены зависимости между напряжениями и деформациями.

Дифференциальные уравнения равновесия являются основой при определении компонентов тензора напряжений в рассматриваемой точке пластически деформируемого тела.

ТОМД. Практические занятия по теме «Теория напряжений»

Некоторые понятия и формулы по теме «напряжения»

1. Октаэдрические напряжения .

Наряду с площадями, по которым действует σ и τ в теории ОМД рассматриваются площадки, равнонаклонённые к главным осям и следовательно отсекающие на них отрезки одинаковой длины. Эти площадки называются октаэдрическими. Всего таких площадок 8 , и вместе они образуют октаэдр. Эти площадки попарно взаимно параллельны , поэтому независимых площадок только 4. Напряжения действующие на октаэдрические площадки называют октаэдрическими: полное октаэдрическое напряжение Sокт; нормальное октаэдрическое: σ_окт и касательное октаэдрическое напряжение τ_окт.

S_окт= = среднему гидростатическому напряжению.

Нормальное октаэдрическое напряжение: σ_окт = σ_ср =

Октаэдрическое касательное напряжение τ_окт.

-главные касательные напряжения

Интенсивность нормальных напряжений

Интенсивность касательных напряжений

Полное нормальное напряжение

Полное касательное напряжение

Интенсивность напряжений (приведённое расчетное)

Если тензор напряжений записан так;

Tσ =

то главные напряжения

и

Примеры решения задач по теме.

Пример № 1 Для некоторой точки тела известен тензор напряжений:

Tσ =

Разложить Tσ на шаровой и девиатор напряжений.

Решение: Tσ = Т_ш + Dσ

Tш = =

Тш =

Dσ =

Пример № 2 Дан тензор напряжений

Tσ =

Определить главные напряжения σ₁; σ₂; σ₃ .

Решение: т.к σ₂ =0, то схема напряженного состояния плоская

σ_1,3 =

σ₁ =26+27.2=53.2

σ₃ =26-27.2= -1.2

Пример № 3 Определить напряжённое состояние (построить схемы напряжений) деформируемого тела по составляющим девиатора напряжений, если тензоры напряжений равны:

Tσ = Tσ =

Пример № 4 Напряженное состояние заданно тензором:

Tσ =

Определить величину главных нормальных и главных касательных напряжений, действующих на площадках главных касательных напряжений.

Решение:

Пример № 5 Напряженное состояние задано тензором:

Tσ =

Определить октаэдрические σ: (S_окт , σ_окт , τ_окт) , главные касательные напряжения, величины σ₁₂ ; σ₂₃ ; σ₃₁ действующие на площадках главных касательных напряжений.

Решение:

S_окт =

σ_окт = σср =

τ_окт=

;

;

Пример № 6 При ОМД тело находится в состоянии

1. простого растяжения >0, =0, =0

2. простого сжатия <0,

3. сдвига >0

4. плоского напряженного состояния

Определить:

1)Тензор напряжений T(σ)

2)Девиатор тензора напряжений Sij

3)Гидростатическое давление P

4)Модуль девиатора ∑

5) Интенсивность напряжений

6) Интенсивность касательных напряжений

7) Коэффициент жесткости схемы напряженного состояния Kж

Решение :

№ 6-1 ПРОСТОЕ РАСТЯЖЕНИЕ

1. тензор напряжений, для простого растяжения : T(σ) =T

2. девиатор тензора напряжений : Dσ =

3. Гидростатическое давление P=

4. Модуль девиатора: ∑=

5. Интенсивность нормальных напряжений

σ_и =

6) Интенсивность касательных напряжений T=

7) Коэффициент жесткости Кж =