2.10. Вырожденные и невырожденные матрицы.

Квадратная матрица называется вырожденной, если строки линейно зависимы. Вырожденной будет, например, матрица, имеющая две одинаковые строки. Примером невырожденной матрицы является единичная матрица.

Положение 1. Элементарные преобразования строк переводят линейно зависимые строки в линейно зависимые, а линейно независимые строки в линейно независимые. Элементарные преобразования столбцов переводят линейно зависимые столбцы в линейно зависимые, а линейно независимые в линейно независимые.

Следствие. Элементарные преобразования строк переводят невырожденную матрицу в невырожденную, а вырожденную матрицу – в вырожденную.

Положение 2. Элементарные преобразования строк сохраняют линейные зависимости между столбцами. Элементарные преобразования столбцов сохраняют линейные зависимости между строками.

Положение 3. Каждая невырожденная матрица с помощью элементарных преобразований строк может быть превращена в единичную матрицу. Заметим, что единичная матрица – это канонический вид невырожденной матрицы. Если А – невырожденная матрица, то последовательность элементарных преобразований, приводящих ее к единичной матрице можно формально записать следующим образом: Т_М×…×Т₂×Т₁×А=Е, где Т₁…Т_М - элементарные матрицы.

При доказательстве этого положения применяется метод элементарных преобразований, называемый методом Гаусса, точнее, методом Гаусса - Жордана, с выбором ведущего элемента по строке, содержание которого будет изложено ниже.

Различные варианты метода Гаусса широко используются в вычислительной практике.

Положение 4. Матрица невырождена тогда и только тогда, когда она раскладывается в произведение элементарных матриц. То есть, для невырожденной матрицы А

S₁×S₂×S₃×…×S_N=A, где S₁… S_N – элементарные матрицы.

Положение 5. Столбцы квадратной матрицы линейно независимы тогда и только тогда, когда матрица невырождена.

Следствие. Матрица А невырождена тогда и только тогда, когда невырождена ее транспонированная матрица А^Т.

Положение 6. Пусть А – невырожденная матрица порядка n. Тогда любой столбец высоты n раскладывается по столбцам А, причем коэффициенты разложения однозначно определены.

Положение 7. Пусть А – невырожденная матрица порядка n. Тогда любая строка длины n раскладывается по строкам А, причем коэффициенты разложения однозначно определены.

2.11. Обратная матрица.

Определение. Матрица Х называется обратной для матрицы А, если Х×А=А×Х=Е, где Е – единичная матрица.

Две матрицы могут бать перестановочными только в том случае, когда обе они – квадратные матрицы одного и того же порядка. Поэтому обратную матрицу имеет только квадратная матрица.

Положение 1. Если у матрицы А существует обратная, то она единственная.

Положение 2. Матрица имеет обратную тогда и только тогда, когда она невырождена.

Обратную к матрице А принято обозначать А^-1. На символ -1 в обозначении обратной матрицы можно смотреть как на показатель степени. Для квадратной матрицы А целая положительная степень А^k определяется как произведение матрицы А самой на себя k раз. Положительная степень (А^-1)^k матрицы А^-1 считается отрицательной степенью А^-k матрицы А. Нулевой степенью любой квадратной матрицы называется единичная матрица того же порядка. При этом определении для невырожденной матрицы А^k×А^m=А^k+m для любых целых k и m.

Основные свойства обратной матрицы.

1. (А^-1)^-1=А.

2. (А×В)^-1=В^-1×А^-1.

3. (А^Т)^-1=(А^-1)^Т.

Способ вычисления обратной матрицы.

1. Пусть имеем квадратную матрицу А порядка n. Составим матрицу D размеров n×2n, приписав к матрице А справа единичную матрицу порядка n.

2. Элементарными преобразованиями строк преобразуем D так, чтобы обратить ее левую половину в единичную матрицу.

3. Тогда правая половина превратится в матрицу А^-1.

Более подробно способы вычисления обратной матрицы будут рассмотрены ниже.