2.9. Приведение матриц к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований.

Напомним, что ступенчатой матрицей называется прямоугольная матрица типа m×n, если для любой ее строки выполняется условие: под первым слева ненулевым элементом строки и под предшествующими ему нулевыми элементами строки все элементы матрицы равны нулю.

С помощью элементарных преобразований строк любую ненулевую матрицу можно привести к ступенчатому виду.

Алгоритм приведения.

1-й шаг. То, что матрица А типа m×n – ненулевая, означает, что в ней есть хотя бы один элемент, не равный нулю. Так как он расположен в какой то строке, то в матрице А есть ненулевые строки. Выберем ту из них, в которой первый, отличный от нуля элемент, расположен в столбце с наименьшим номером k₁≥1. Применим к матрице А преобразование 1-го типа, переставим эту строку на место первой строки. В результате этого преобразования матрица А переходит в матрицу

, (1)

где . Остальные элементы могут быть как ненулевыми , так и нулевыми. Верхний индекс в скобках, например , обозначает номер шага преобразований.

Далее необходимо добиться, чтобы все элементы k₁-го столбца матрицы (1), кроме первого элемента , оказались равными нулю.

Для этого необходимо к каждой i-й строке матрицы (1) (i=2,…,m) прибавить первую строку, умноженную на (это преобразование третьего типа).

В результате получим матрицу, у которой элементы в позициях будут равны нулю. Приходим к матрице вида

_{. (2)}

Конец первого шага. В дальнейших преобразованиях первая строка не участвует!

Если у матрицы (2) все строки, кроме первой, нулевые, то процесс преобразований завершен. Если у матрицы (2) есть ненулевые строки, кроме первой, тогда переходим ко второму шагу.

2-й шаг. Выберем ту ненулевую строку матрицы (2), в которой первый ненулевой элемент располагается в столбце с наименьшим номером, например k₂ , (вполне очевидно, что k₂>k₁). Применим к матрице (2) преобразование первого типа, переставим эту строку на место второй строки. Имеем

, (3)

где .

Прибавим к каждой i-й строке (i=3,…,m) матрицы (3) вторую строку, умноженную на .

В результате получим матрицу, в которой под элементом будут находиться нулевые элементы, т.е. в позициях (i , k₂).

В общем случае может возникнуть необходимость третьего и последующих шагов. Однако суммарное число шагов не превосходит min(m , n). Поэтому обязательно наступает момент, когда процесс преобразований завершится, и мы получим матрицу ступенчатого вида

, (4)

где k₁<k₂<…<k_r и , , … , .

Ступенчатую матрицу при помощи элементарных преобразований ее столбцов можно привести к матрице, имеющей еще более простой (канонический, или упрощенный) вид:

.

В приведенной матрице все элементу, кроме единиц, стоящих в позициях (1,1), (2, 2), …, (r, r) равны нулю; r=4.

Преобразование матрицы (4) ступенчатого вида к каноническому производится следующим образом.

1. Путем перестановки в матрице (4) столбцов с номерами k₁, k₂, …, k_r на место первого, второго, …, r-го столбцов соответственно (это преобразование 1 – го типа) получаем трапециевидную матрицу

, (5)

где , , … ,

2. Далее необходимо добиться, чтобы все элементы первой строки матрицы (5), кроме первого элемента, были равны нулю. Для этого прибавляем к каждому j – му столбцу матрицы (5) первый столбец, умноженный на Это преобразование третьего типа. В результате таких преобразований получаем матрицу, первая строка которой содержит только один ненулевой элемент .

(6)

3. Аналогично упрощаем 2–ю, 3–ю,…, r–ю строки. В результате получаем матрицу, например:

(7)

все элементы которой равна нулю, за исключением первых r диагональных элементов. В приведенном примере - матрица (7) - r=5.

4. К каноническому виду матрица (7) приводится преобразованиями 2 – го типа, то есть умножением каждой строки на коэффициент

Пример.

Привести матрицу А_3×4 к ступенчатому и каноническому виду

1. Выбираем первую строку. Необходимо добиться, чтобы все элементы первого столбца, кроме а₁₁=7, были равны нулю.

Умножаем первую строку на 0, и складываем со второй

Умножаем первую строку на и складываем с третьей

2. Необходимо добиться, чтобы во втором столбце третий элемент был равен нулю.

Для этого умножаем вторую строку на и прибавляем к третьей

Полученная матрица – матрица ступенчатого вида. Нетрудно видеть, что одновременно она и трапециевидная матрица.

Преобразуем ее к каноническому виду.

1. Необходимо добиться, чтобы в первой строке все элементы, кроме первого, были равны нулю.

Умножаем первый столбец на и прибавляем ко второму столбцу

Умножаем первый столбец на и прибавляем к третьему столбцу

Умножаем первый столбец на и прибавляем к четвертому столбцу

2. Необходимо добиться, чтобы все элементы во второй строке, кроме диагонального а₂₂ = - 3.143, были равны нулю.

Умножим второй столбец на и прибавим к третьему столбцу

Умножим второй столбец на и прибавим к четвертому столбцу

3. Необходимо добиться, чтобы в третьей строке все элементы, кроме диагонального а₃₃ = - 3.733, были равны нулю.

Умножим третий столбец на и прибавим к четвертому столбцу

4. Необходимо добиться, чтобы все диагональные элементы были равны 1.

Умножим первую строку на 1/7, вторую строку на 1/-3.143, третью на 1/-3.733

Таким образом , элементарными преобразованиями матрица А приведена к каноническому виду.