2.5. Прямая сумма матриц.

Пусть дана квадратная матрица А порядка m и квадратная матрица В порядка n . Прямой суммой матриц А и В называют квадратную блочную матрицу порядка m+n , равную

,

где О – нулевой блок (нулевая матрица типа m×n вверху справа и n×m внизу слева.

Пример.

.

Квадратные матрицы как бы «складываются» по «диагонали».

Свойства прямой суммы матриц.

1. Ассоциативность

.

2. Пусть квадратные матрицы А₁ и А₂ имеют порядок m, а квадратные матрицы В₁ и В₂ - порядок n. Тогда

,

.

2.6. Линейная зависимость строк и столбцов.

Строки и столбцы матрицы можно рассматривать как матрицы - строки и матрицы – столбцы. Поэтому над ними, как и над любыми матрицами, можно выполнять линейные операции.

Линейные операции над строками (столбцами) дают возможность составлять строки (столбцы) в виде выражений

,

где – произвольный набор векторов - строк (столбцов) одинаковой длины (высоты); – вектор – строка (столбец).

Например , набор строк (некоторой матрицы):

,

,

………………………..,

.

Например, набор столбцов (некоторой матрицы):

… ,

Вектор – строка (столбец) называется линейной комбинацией строк (столбцов) с коэффициентами .

Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы одно из чисел отлично от нуля, и тривиальной, если .

В последнем случае вектор – строка (столбец) – нулевая строка (столбец) .

Строки называются линейно независимыми, если равенство

,

где в правой части – нулевая строка, возможно лишь при , т.е. нулевой строке равна только тривиальная линейная комбинация строк.

Строки называются линейно зависимыми, если равенство

возможно, когда существуют действительные числа , не равные нулю одновременно, т.е. нулевой строке равна нетривиальная линейная комбинация строк.

Аналогично это распространяется и на линейную зависимость и независимость столбцов.

Например:

пусть – вектора – строки (одинаковой длины)

Составим их линейную комбинацию : вектор – строку

,

где

,

,

.

Линейная комбинация

или , где элементы вектора – строки определяются следующим образом:

……………………………….,

Если среди хотя бы одно не равно нулю, но то строки линейно зависимы.

Критерий линейной зависимости (теорема).

Строки (столбцы) линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы одна (один ) из них являются линейными комбинациями остальных.

Следствия.

Пусть строки (столбцы) линейно независимы, а хотя бы одна из строк (столбцов) является их линейной комбинацией. Тогда все строки (столбцы) , линейно зависимы.

Столбцы

_,

в которых на i – том месте стоит единица, а остальные элементы равны нулю

являются линейно независимыми. Действительно, равенство

можно записать подробнее так

Отсюда видно, что равенство выполнимо, если

Следствия: произвольный столбец высотой n может быть разложен по столбцам .

Действительно, в качестве коэффициентов линейной комбинации нужно взять элементы раскладываемого столбца.

Столбцы ( строки) единичной матрицы линейно независимы и обладают тем свойством, что каждый столбец (строка) с тем же числом элементов раскладывается по ним.

В данном случае столбцы . Аналогичны и строки.