2. Действия над матрицами.
2.1. Линейные операции над матрицами.
Линейные операции над матрицами – это умножение матриц на число и сложение матриц.
Две
матрицы
и
называются равными,
если они имеют одинаковый размер (тип)
m×n,
и если у них совпадают соответствующие
элементы, т.е.
. Обозначение А=В.
Суммой
матриц
и
типа m×n
называют матрицу
того же типа m×n
с элементами
.
Обозначение
Пример.
.
Сумма определена только для матриц одного типа.
Аналогично определяется разность матриц.
Произведением
матрицы
типа m×n
на действительное число ∝
называют матрицу
типа m×n
с элементами
.
Обозначение
.
Пример:
.
Для множества всех матриц, элементами которых являются действительные числа, верны следующие свойства линейных операций:
Сложение матриц коммутативно (коммутативность – переместительность):
A+B=B+A.
Сложение матриц ассоциативно:
(A+B) + C=A+ (B+C).
Если А – матрица типа m×n и О – нулевая матрица типа m×n , то А+О=А.
Для любой матрицы А типа m×n существует такая единственная матрица В типа m×n , для которой А+В=О – нулевая матрица.
Матрицу
В называют противоположной
матрицей
и обозначают –А. Она получается из
матрицы А умножением на число -1, т.е.
.
Умножение матрицы на число ассоциативно:
.
Умножение матрицы на число дистрибутивно относительно суммы действительных чисел (дистрибутивность – распределительность)
.
Умножение матрицы на число дистрибутивно относительно суммы матриц:
.
Умножение матрицы на 1 не меняет ее:
.
Свойства линейных операций:
А+В=В+А.
А+(В+С)=(А+В)+С.
А+О=А.
А - А= О ( матрица
называется противоположной
матрицей).
.
.
2.2. Транспонирование матриц.
Для
матрицы
типа m×n
ее транспонированной
матрицей
называют матрицу
типа n×m
с элементами
Транспонированная
матрица
получается из исходной матрицы А путем
замены каждой ее строки столбцом с тем
же номером.
Пример:
Свойства операции транспонирования:
.
.
4.
.
5.
.
Операция умножения матриц будет рассмотрена ниже.
Для
квадратных
матриц:
если
,
то матрицу А называют симметрической
(симметричной);
если
– кососимметрической
(кососимметричной).
Элементы симметрической матрицы, расположенные на местах, симметричных относительно главной диагонали, равны между собой.
Элементы кососимметрической матрицы, расположенные на местах, симметричных относительно главной диагонали, отличаются знаком, а диагональные элементы равны нулю.
Пример:
и
- симметрические
(симметричные) матрицы,
и
- кососимметрические
матрицы.
2.3. Умножение матриц.
Произведением
матрицы
типа m×n
на матрицу
типа n×p
называют матрицу
типа m×p
с элементами
.
Обозначение
:
.
Произведение определено лишь в том случае, когда количество столбцов первого сомножителя равно количеству строк второго ( длина строк матрицы А должна быть равна высоте столбцов матрицы В).
В
формировании элемента
произведения А*В участвуют элементы
i–й
строки матрицы А и элементы j–
го столбца матрицы В. Поэтому правило
умножения матриц называют также правилом
умножения «строка на столбец». Для
нахождения элемента
нужно элементы i–й
строки матрицы А умножить на элементы
j
–го столбца матрицы В и результаты
сложить.
Следует отметить, что именно такое определение умножения матриц оказывается полезным в целом ряде вопросов.
Заметим также, что количество строк матрицы – произведения m равно количеству строк первого сомножителя А, а количество столбцов равно количеству столбцов второго сомножителя В - p.
Следствия.
Произведением прямоугольной матрицы и матрицы – столбца является матрица – столбец
.
Умножение матрицы – строки А типа 1×n на матрицу – столбец В типа n×1 дает матрицу 1×1, которую отождествляют с числом
.
3. Умножение матрицы – столбца В типа m×1 на матрицу – строку А типа 1×n дает прямоугольную матрицу С типа m×n
.
4. Умножение матрицы – строки А типа 1×n на прямоугольную матрицу В типа n×m дает матрицу – строку типа 1×m
.
Существование произведения А*В двух матриц не означает существования произведения В*А.
Примечание: А*В означает умножение матрицы А на матрицу В справа ; В*А означает умножение матрицы А на В слева.
Чтобы матрицу А типа m×n можно было умножить на матрицу В слева и справа ( т.е. чтобы были определены оба произведения В*А и А*В) матрица В должна иметь тип n×m.
Квадратные
матрицы А и В можно перемножать, если
они имеют одинаковый порядок, причем в
этом случае определены оба произведения
(А*В и В*А). Но, как правило
!
Пример:
,
,
,
.
Обратим
внимание, что
,
,
хотя ни одна из перемножаемых матриц
не является нулевой.
Если определены оба произведения А*В и В*А и выполнено равенство А*В=В*А, то матрицы А и В называются коммутирующими или перестановочными. Коммутирующие матрицы всегда квадратные и одного порядка.
5. Произведение диагональных матриц одного порядка есть диагональная матрица, элементами которой являются произведения соответствующих элементов перемножаемых матриц. Диагональные матрицы одного порядка являются перестановочными
.
Свойства операции умножения.
Умножение ассоциативно, т. е.
.
2. Умножение матриц дистрибутивно относительно сложения матриц, т.е.
.
3. А*Е=Е*А=А, где Е – единичная матрица ( для квадратной матрицы А порядка n матрица Е также имеет порядок n).
4. Для любой квадратной матрицы А порядка n и нулевой матрицы О порядка n выполняется равенство А*О=О.
5.
Для любых матриц А и В типов m×n
и n×k
выполняется равенство
,
т.е. транспонирование произведения двух
матриц равно произведению в обратном
порядке транспонированных матриц:
.
Операция умножения матриц позволяет ввести операцию возведения матрицы в натуральную степень:
.
Две
степени
и
одной и той же квадратной матрицы
являются матрицами одного порядка и
перестановочными
.
Нулевая
степень квадратной матрицы
,
где E
– единичная матрица того же порядка,
что и матрица А.
Введенная степень матрицы позволяет для квадратной матрицы вычислять выражения вида
,
где
- действительные
числа,
т.е. многочлены от матричного аргумента.
Пример.
Вычислим значение квадратного трехчлена
для квадратной матрицы
.
Поскольку
,
то
.
Вычислив
,
находим
.