Тема 6. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем

6.1. Сутність нелінійних зв’язків в економічних системах

6.2. Методи розробки нелінійних оптимізаційних моделей економічних систем

Поняття: система; емерджентність, детермінована система; стохастична система; динамічна система; нелінійність; траєкторія; аттрактор; бифуркація; нелінійне програмування; цільова функція; оптимальний план; фрактал; графічний метод; метод Лагранжа.

Література: [5], [7], [14], [23], [29], [49].

6.1. Сутність нелінійних зв’язків в економічних системах

Найважливішою задачею економічної науки є цілеспрямоване управління поведінкою складних динамічних систем, у тому числі економічних, господарських, технічних та інш. Для цього сучасна наука має в розпорядженні широкий арсенал методів, серед яких особливе значення має математичне моделювання. До останнього часу в економічних дослідженнях прикладного характеру і в управлінській діяльності використовувались лінійні оптимізаційні моделі. При достатньо високому рівні технологічної культури і надійній інформаційній базі реалізація лінійних економіко-математичних моделей забезпечує більш високу ефективність в порівнянні з традиційними методами прийняття управлінських рішень. Проте дослідження останніх років показали, що існує клас економічних, господарських задач, де застосування лінійних оптимізаційних моделей або некоректно, або утруднено, але в той же час вони ефективно розв'язуються на основі нелінійних економіко-математичних моделей.

Теорія "нелінійної економіки" істотно відрізняється від теорії "лінійної економіки", хоча таке поняття, як система є фундаментальною і нероздільною для цих теорій.

При визначенні нелінійних зв’язків важливе значення має категорія системи. Система (від грецького - складене з частин, з'єднання) - це відносно відособлена і впорядкована сукупність вододіючих особливою зв'язаністю і цілеспрямованістю взаємодіючих елементів, здатних реалізувати певні функції.

Важливою якістю будь-якої системи є емерджентність - наявність таких властивостей, які не властиві жодному з елементів, що входять в систему.

Системи бувають детерміновані і стохастичні. Під детермінованою системою розуміється система, в якому зв'язки між елементами і подіями строго і однозначно визначені, тобто її стан в майбутньому однозначно визначається станом на відповідний час.

Системи, в яких зв'язки між елементами і подіями носять ймовірносний характер - називаються стохастичними.

Слід відзначити, що більшість економічних процесів мають ймовірносний характер і можуть бути описані нелінійними моделями. В цілому, в детерміновані економічні процеси введення незначної нелінійності призводить до непередбачуваного ряду подій.

При дослідженні нелінійних зв’язків необхідно враховувати динаміку системи. Динамічна система – система, в якій перехід з одного стану в інший здійснюється не миттєво, а протягом деякого часу, тобто процес переходу можна спостерігати і описати.

Найбільший інтерес з погляду управління представляють закономірності поведінки складних динамічних систем. Системи, які мають розгалужену структуру і велику кількість взаємозв'язаних і взаємодіючих елементів, що забезпечують виконання будь-якої складної функції, називаються складними. Одна з важливих властивостей складних систем - нелінійність. Якщо розглядаємо нестійкий режим системи, то порушивши його малим обуренням, отримаємо деяке відхилення від початкового положення. Відхилення наростатиме до тих пір, поки не вступить в дію механізм нелінійного обмеження процесу наростання обурення. З фізичної точки зору це можна пояснити так: наростання амплітуди не може відбуватися до безкінечності, через обмеженість енергетичних ресурсів системи це наростання повинно припинитися або змінитися зменшенням амплітуди відхилення. Будь-який новий режим повинен мати кінцеву амплітуду, і управляють цими процесами нелінійні закони. Властивості нелінійної системи безпосередньо залежать від її стану.

При проведенні аналізу нелінійних динамічних систем необхідно враховувати поняття «фазовий простір» і «траєкторія». Багато станів динамічної системи називають фазовим простором, а траєкторію руху в цьому просторі з деякого початкового стану – фазовою траєкторією. Найважливіша характеристика цього простору – його розмірність – число величин, які необхідно задати для визначення стану системи.

Траєкторія – крива в просторі параметрів, яку описує точка при своєму русі в часі.

Найважливіше поняття в теорії нелінійних динамічних систем – це поняття грубості (або структурної стійкості). Якщо при малих змінах параметрів системи вид фазових змін нелінійної системи залишається незмінним, то таку системи називають грубою.

При аналізі динаміки нелінійних моделей враховують поняття «ат трактор» - безліч точок або підпростір у фазовому просторі, до якого наближається траєкторія після загасання перехідних процесів. Класичними прикладами аттракторів в динаміці можуть служити точки динамічної рівноваги, нерухомі точки відображень, або граничні цикли. Динамічні системи, які володіють аттракторами називають дисипативними.

При моделюванні нелінійних економічних процесів динаміки необхідно враховувати теорії прогнозу, катастроф и бифуркації. Прогнозування економічних процесів розглядається в розділі 12. Теорія катастроф полягає в тому, що відстеження змін на основі розуміння коли, чому і як відбуваються економічні зміни. Для цих процесів характерні раптові стрибкоподібні зміни, а не поступовий плавний розвиток.

Основи теорії бифуркацій динамічних систем були закладені в працях великого французького вченого Анрі Пуанкаре. Бифуркація – зміна характеру руху динамічної системи на великому тимчасовому інтервалі при зміні одного або декількох параметрів. Ті значення параметрів, при яких змінюються якісні або топологічні властивості руху, називаються критичними або бифуркаційними значеннями. Хаос в динаміці означає чутливість динамічної еволюції до змін початкових умов.

При вивченні нелінійних об’єктів необхідно враховувати поняття фракталу. Будь-який нелінійний процес призводить до галуження, до розвилки на шляху, в якій система може вибрати ту або іншу гілку. Будь-яка найменша неточність в початкових умовах може пізніше дуже сильно вплинути на подальший рух. В кожний окремий момент причинний зв'язок зберігається, але після декількох галужень її вже не видно. Поняття фрактала в самому початку розроблялося Бенуа Б. Мандельбротом як альтернатива евклідовій геометрії, що претендувала на найбільш відповідний опис об'єктів природи. Їх істотною межею була невичерпність найдрібніших деталей і самоподібність в різних масштабах вимірювання. Найсильнішим затвердженням теорії фракталів є те, як багато процесів, що відповідають за формування економічних об'єктів, прагнуть стати хаотичними, і що хаотичні аттрактори є фрактальними об'єктами.