Контрольні запитання та задачі

1. Дайте визначення n-вимірного числового вектора.

2. Яка система векторів називається лінійно незалежною?

3. Що називається рангом системи векторів?

4. Що називається базисом системи векторів?

5. Що називають розв’язком лінійного рівняння з невідомими?

6. Що називають розв’язком системи рівнянь з невідомими?

7. Яку систему рівнянь називають сумісною (несумісною), визначеною (невизначеною)?

8. В якому випадку система рівнянь є невизначеною?

9. Як записується канонічна ЗЛП в векторній формі?

10. Які змінні називають базисними, а які – вільними?

11. Який розв’язок називають загальним, частинним, базисним і опорним?

12. Який опорний план називається невиродженим, а який виродженим?

13. Сформулюйте необхідну і достатню умову існування опорного плану.

14. Яке рівняння визначає гіперплощину в просторі ?

15. Що собою представляє множина розв’язків системи рівнянь з невідомими?

16. Дайте геометричну інтерпретацію плану і опорного плану ЗЛП

17. Дайте визначення опуклої комбінації точок .

18. Дайте визначення вершини опуклої множини.

Симплексний метод розв’язування ЗЛП (СМ)

1.4.1. Загальні положення см

СМ є універсальним методом розв’язування ЗЛП. При його реалізації здійснюється орієнтований перебір вершин многогранника планів задачі. Оскільки кількість вершин многогранника планів є скінченною, то алгоритм СМ володіє властивістю скінченності (за скінченну кількість кроків реалізації алгоритму ми одержимо оптимальний розв’язок або покажемо, що цільова функція на множині планів необмежена). Виняток становить явище зациклювання, яке полягає в можливому повторенні циклу обстеження тих самих вершин. На практиці таке явище трапляється дуже рідко.

Обстеження вершин можна почати лише після знаходження початкового опорного плану задачі. Тому весь алгоритм СМ поділяють на два етапи: на першому – знаходять початковий опорний план, а на другому – оптимальний.

В наступних пунктах ми розглянемо реалізацію СМ для ЗЛП, представлених в різних формах.

1.4.2. Алгоритм см у формі тотожних перетворень

Реалізацію алгоритму СМ у формі тотожних перетворень проілюструємо на прикладі 1.1. в якому потрібно знайти найбільше значення функції при обмеженнях

, (1.10)

де х₁ – кількість прикрас виду А₁, х₂ – кількість прикрас виду А₂, які виготовить майстерня. Ввівши допоміжні змінні (їх кількість дорівнює кількості обмежень в задачі), запишемо дану задачу в канонічному вигляді: знайти найбільше значення функції

(1.11)

при обмеженнях

(1.12)

(1.13)

Виразимо з (1.12) базисні змінні і перепишемо задачу (1.11) – (1.12) у вигляді 0-рівнянь.

(1.14)

На початку виробничої діяльності продукція не виготовляється, тому х₁= 0, х₂ = 0 і f = 0. Даний розв’язок є опорним. Як видно із (1.11), спочатку потрібно здійснювати випуск продукції х₂ (вартість виробу А₂ більша за вартість виробу А₁), тобто збільшувати х₂.

Стовпчик коефіцієнтів при х₂ в системі обмежень (1.14) будемо називати розв’язуючим, змінні у₁, у₂, у₃ – базисними змінними, а х₁ і х₂ – небазисними.

Оскільки ми збільшуємо х₂, то х₁=0 із (1.14), матимемо

Так як змінні , то

(1.15)

Максимальне збільшення х₂ можливе до 4. Дійсно, Цей рядок із (1.14), для якого досягається найменше відношення вільних членів до додатних коефіцієнтів розв’язуючого стовпчика, назвемо розв’язуючим. З нього одержуємо (змінна стає базисною, а на її місце переходить змінна ). Підставляючи в (1.14), одержимо

(1.16)

(1.17)

Покладаючи небазисні змінні , одержимо наступний опорний розв’язок: і .

Як видно з (1.17), наступне збільшення значення f можливе за рахунок збільшення змінної . Маємо Друге рівняння із (1.16) є розв’язуючим. З нього . Підставивши в (1.16) і (1.17), одержимо

(1.18)

(1.19)

Нехай y₁=0, y₂=0. Тоді і .

Як видно з (1.19), наступне збільшення f неможливе. Тому можна зробити наступний висновок: опорний розв’язок буде оптимальним, якщо у виразі в дужках для цільової функції (1.19) відсутні від’ємні коефіцієнти при небазисних змінних у₁ і у₂. Даний висновок за умови узагальнення може бути прийнятий за критерій оптимальності опорного розв’язку.

Запропонований підхід до розв’язування ЗЛП використовується рідко (в основному для ЗЛП з двома, трьома змінними), оскільки вимагає виконання великої кількості алгебраїчних перетворень цільової функції і системи обмежень.