1.3. Опорні плани злп

Розглянутий в 1.2 графічний метод застосовується до досить вузького класу ЗЛП. Універсальним методом розв’язування ЗЛП є симплексний метод. Перш ніж перейти до його розгляду, введемо нові поняття.

Визначення 1.5. Впорядкована система чисел називається -вимірним числовим вектором і позначається а числа називаються його координатами.

Координати числового вектора можна розміщувати в рядок і говорити про вектор-рядок, або в стовпчик і говорити про вектор-стовпчик.

Два числові вектори називаються рівними, якщо рівні їх відповідні координати. При додаванні двох числових векторів відповідні координати додаються, а при множенні числового вектора на число кожна координата множиться на це число.

Визначення 1.6. Система векторів називається лінійно незалежною, якщо рівність виконується тоді і тільки тоді, коли

Визначення 1.7. Рангом системи векторів називається найбільше число векторів, з яких можна утворити її лінійно незалежну підсистему.

Визначення 1.8. Якщо ранг системи векторів , то сукупність векторів цієї системи, які утворюють лінійно незалежну підсистему векторів, називається базисом цієї системи.

З n-вимірними числовими векторами ми зустрічатимемось при розв’язуванні лінійних рівнянь з n-невідомими, а також систем рівнянь з n невідомими.

Справді, лінійне рівняння з невідомими можна задати впорядкованою сукупністю його коефіцієнтів, тобто –вимірним вектором . Розв’язком буде вектор , який при підстановці в це рівняння перетворює його в тотожність.

Визначення 1.9. Розв’язком системи рівнянь з n невідомими , де

називається кожний n-вимірний числовий вектор , який є розв’язком кожного з рівнянь системи.

Систему рівнянь, яка має хоча б один розв’язок, називають сумісною, яка не має жодного розв’язку – несумісною. Сумісна система рівнянь, яка має один розв’язок, називається визначеною, а яка має безліч розв’язків – невизначеною.

Згідно з теоремою Кронекера-Капеллі сумісна система рівнянь є невизначеною, якщо ранг матриці системи менший від кількості невідомих.

Завдяки введеному поняттю n-вимірного числового вектора, ЗЛП записану в загальній, симетричній та канонічній формах, можна записувати в векторній формі. Зокрема, канонічна задача в векторній формі має вигляд: знайти найбільше значення функції при обмеженнях

, (1.6)

де .

Зауваження 1.2. Для того, щоб можна було говорити про відшукання оптимального розв’язку вищенаведеної ЗЛП, треба, щоб система (1.6) була сумісною і мала безліч розв’язків. А це можливо в випадку, коли ранг системи менший від числа невідомих . Випадок взагалі неможливий, а при система має єдиний розв’язок і питання оптимального відпадає само по собі.

Нехай . В цьому випадку система векторів містить максимальну лінійно незалежну підсистему – базис, причому базисів може бути декілька, але не більше ніж .

Визначення 1.10. Змінні, що відповідають векторам базису, називають базисними, а решту змінних – вільними.

Припустимо, що один із базисів утворюють перші r векторів Йому відповідають базисні змінні і вільні змінні . При зроблених припущеннях систему (1.6) можна звести до вигляду:

(1.7)

в якому базисні змінні виражаються через вільні змінні

Запис (1.7) задає загальний розв’язок системи (1.6).

Надаючи вільним змінним в (1.7) певних числових значень, можна однозначно знайти відповідні значення базисних змінних, а, отже, і певний частинний розв’язок системи. Очевидно, що таких частинних розв’язків існує нескінченна множина.

Визначення 1.11. Частинний розв’язок, одержаний із загального при нульових значеннях вільних змінних, назвемо базисним розв’язком системи (1.6).

В цьому випадку з (1.7) знаходимо або .

Оскільки кількість базисів не перевищує , а кожному базису відповідає свій базисний розв’язок, то і базисних розв’язків системи (1.6) буде не більше ніж .

Визначення 1.12. Якщо в базисному розв’язку всі базисні змінні приймають невід’ємні значення, то його називають опорним розв’язком або опорним планом.

З даного визначення випливає, що опорний план не може містити більше ніж r додатних компонент.

Визначення 1.13. Опорний план, який містить рівно r відмінних від нуля компонент, називається невиродженим, якщо хоча б одна з базисних компонент дорівнює нулю, опорний план називається виродженим.

Сформулюємо ряд теорем, які обґрунтовують існування опорного плану для ЗЛП.

Теорема 1.1. Для існування хоча б одного опорного плану ЗЛП необхідно і досить, щоб ранг її сумісної системи обмежень, включаючи і обмеження змінних по знаку, дорівнював n.

Теорема 1.2. Якщо ЗЛП має розв’язок і серед планів цієї задачі є опорний, то хоча б один з них буде оптимальним.

Теорема 1.3. Якщо ЗЛП має хоча б один план і шуканий екстремум лінійної форми обмежений на множині планів, така ЗЛП має хоча б один оптимальний план.

Теорема 1.4. Якщо множина планів ЗЛП є непорожньою, то серед них є хоча б один опорний план, причому опорних планів може бути не більше, ніж .

Для того, щоб дати геометричну інтерпретацію опорних планів, нам будуть потрібні деякі відомості з теорії систем лінійних нерівностей з невідомими та теорії функцій багатьох змінних.

Сукупність дійсних чисел , записаних в певному порядку, називають точкою. Надалі точку ототожнюватимемо з числовим вектором і позначатимемо . Числа називають координатами точки . На множині всіх таких точок введемо операції додавання і множення на дійсні числа за правилами , .

Множина всіх точок із введеними вище операціями утворює n-вимірний лінійний точковий простір. Зокрема при одержимо відповідно точки координатної прямої, координатної площини та координатного простору.

Відстань між двома точками і n-вимірного точкового простору визначатимемо за формулою

(1.8)

Точковий лінійний -вимірний простір, відстань між двома точками і якого визначається за формулою (1.8), називають -вимірним евклідовим простором і позначають .

Нехай та . Сукупність усіх точок простору таких, що , називають -вимірною кулею з центром у точці та радіусом і позначають . Будь-яку кулю називатимемо сферичним -околом точки в просторі .

Нехай – деяка множина точок -вимірного евклідового простору . Точку називають внутрішньою точкою множини , якщо існує окіл цієї точки, який міститься в множині . Множину називають відкритою, якщо кожна її точка є внутрішньою. Точку називають граничною точкою множини , якщо будь-який її окіл містить нескінченну кількість точок множини . Множину називають замкненою, якщо вона містить усі свої граничні точки.

Геометричне місце точок , координати яких є функції неперервні на відрізку , називається неперервною кривою в просторі . Аргумент називається параметром кривої. Точка – початок кривої, а точка – її кінець.

Множина називається зв’язною, якщо будь-які дві її різні точки можна з’єднати неперервною кривою, яка повністю міститься в множині .

Зв’язна відкрита множина називається областю.

Точка називається межовою точкою множини , якщо будь-який її окіл містить і точки множини і точки, які їй не належать. Множина всіх межових точок множини називається межею цієї множини. Область разом з її межею називається замкненою областю.

Нехай – координати точки . Рівняння , не всі коефіцієнти якого нулі, визначає в просторі деяку гіперплощину. Крім точок, які належать даній гіперплощині, в знайдуться точки для яких виконується , і точки, в яких . Таким чином, в просторі відносно деякої гіперплощини можна виділити дві частини (області), в точках яких виконуються вищенаведені нерівності. Ці області називаються відкритими півпросторами. Якщо до кожного з цих півпросторів приєднати гіперплощину, то отримаємо відповідні замкнуті півпростори.

Визначення 1.14. Якщо кожній точці відповідає за певним законом одне і тільки одне дійсне число , то кажуть, що на множині визначено функцію змінних і записують або .

Розглянемо тепер нерівність область розв’язків якої представляє собою один із півпросторів.

Тоді область розв’язків системи

(1.9)

представляє деяку область , що є перетином півпросторів, які визначаються її нерівностями.

Область як перетин опуклих множин, є опуклою множиною, яку називають опуклою многогранною областю. Вона представляє собою область розв’язків системи нерівностей (1.9) – опуклий многогранник, який ще називають многогранником планів або многогранником допустимих розв’язків.

Таким чином, плани ЗЛП трактують як точки многогранника планів, а опорні плани є його вершинами. Має місце

Теорема 1.5. Кожному опорному плану ЗЛП відповідає вершина многогранника планів, і, навпаки, кожній вершині многогранника планів відповідає опорний план ЗЛП.

Наведена теорема встановлює відповідність між опорними планами ЗЛП і вершинами многогранника планів. Зокрема, з неї випливає, що сукупність опорних планів співпадає з системою вершин многогранника планів. Оскільки опорних планів не більше ніж , то многогранник планів має скінченне число вершин.

Визначення 1.15. Точка називається опуклою комбінацією точок , якщо існують такі числа , , , що .

Вершиною (крайньою кутовою точкою) опуклої множини називається точка цієї множини, яка не може бути представлена у вигляді опуклої лінійної комбінації з відмінними від нуля коефіцієнтами двох інших різних точок цієї множини.

Вершини опуклого многогранника мають властивість: будь-яку точку многогранника можна представити як опуклу лінійну комбінацію його вершин , тобто

Розглянуту властивість вершин сформулюємо мовою планів: будь-який план ЗЛП можна представити як опуклу лінійну комбінацію її опорних планів. Із цього випливає, що для дослідження множини планів ЗЛП достатньо вивчати лише опорні плани.

Теорема 1.6. Лінійна функція, визначена на опуклому n-вимірному многограннику, досягає найбільшого значення в вершині цього многогранника. Якщо лінійна функція досягає найбільшого значення більш ніж в одній вершині, то вона досягає такого ж значення в будь-якій точці, яка є опуклою лінійною комбінацією цих вершин.

Якщо функцію геометрично трактувати як сім’ю паралельних гіперплощин, кожній з яких відповідає певне значення функції , то наведеній теоремі можна дати наступну геометричну інтерпретацію: гіперплощина ліній рівня лінійної функції , яка відповідає її найбільшому значенню, проходить або через єдину вершину, або через ребро, або через грань многогранника планів, який визначається системою обмежень (1.6).

Оскільки кожній вершині многогранника відповідає опорний план, то можна сказати, що оптимальний план розв’язуваної ЗЛП співпадає принаймні з одним з її опорних планів.

Вектор , перпендикулярний до гіперплощини, вказує напрям найшвидшого зростання функції f . Оскільки в будь-якій точці кожної гіперплощини функція f набуває сталого значення, то їх називають площинами рівня.

Враховуючи вищесказане, можна дати наступну геометричну інтерпретацію ЗЛП: знайти точку многогранника планів, що визначається системою обмежень, через яку проходить гіперплощина сім’ї функції і в якій функція приймає найбільше (найменше) значення.