Розділ 1. Лінійне програмування (лп)

1. Форми запису задач лп

Розглянемо тепер конкретну задачу розподілу ресурсів.

Приклад 1.1. Ювелірна майстерня виготовляє прикраси двох видів і . Для цього використовуються дорогоцінні метали і . Питомі витрати на одиницю виробу, запаси металів і вартості одиниці кожного виробу подані в таблиці 1.1:

Таблиця 1.1

Вид металу	Вироби		Запаси (гр)
	А1	А2
В1	1	1	6
В2	0	1	4
В3	2	1	10
Вартість виробу (тис.грн.)	1	2

Потрібно так організувати виробництво прикрас, щоб прибуток від їх реалізації був максимальним.

Розв’язок. Складемо математичну модель задачі. Припустимо, що для отримання найбільшого прибутку майстерня виготовить х₁ виробів виду А₁ і виробів виду . Кількість виробів невід’ємна: . Оскільки запаси кожного виду металів і обмежені, то при відомих питомих витратах на одиницю виробу (див. таб. 1.1) змінні х₁ і х₂ повинні задовольняти наступним умовам:

(1.1)

Вартість реалізованих виробів виразимо цільовою функцією .

Таким чином, економічна задача в математичній формі формулюється так: знайти такі значення змінних , які задовольняють умові і при яких функція досягає найбільшого значення.

Розглядувана нами задача (приклад 1.1) є так званою задачею ЛП (ЗЛП). (До ЗЛП відносять такі, в яких всі функції і – лінійні відносно змінних. Якщо принаймні одна з функцій або нелінійна, то відповідну задачу називають нелінійною).

В ній, як зазначалося вище, потрібно відшукати значення змінних (умови невід’ємності), які задовольняли б систему обмежень (1.1), і при яких цільова функція досягала б найбільшого значення.

Проте в деяких задачах значення невідомих х₁ і х₂ повинні задовольняти лише деяку систему лінійних рівнянь, в інших – систему лінійних рівнянь і нерівностей, а також не обов’язково повинні бути невід’ємними. Поряд із задачами максимізації розглядають і задачі мінімізації.

В залежності від виду обмежень і критерію оптимальності розрізняють наступні форми запису ЗЛП:

1. загальна форма;

б) симетрична форма;

в) канонічна форма.

Визначення 1.1. Загальною ЗЛП називають задачу, в якій потрібно знайти найбільше (найменше) значення цільової функції

при обмеженнях

, ,

де – задані дійсні числа.

Визначення 1.2. ЗЛП в симетричній формі запису називають задачу, в якій потрібно знайти найбільше значення функції

при обмеженнях

.

Визначення 1.3. ЗЛП в канонічній формі запису називають задачу, в якій потрібно знайти найбільше значення функції

при обмеженнях

, .

З’ясуємо тепер питання про взаємозв’язок між різними формами ЗЛП. Насамперед покажемо, що канонічну задачу можна перевести в симетричну і навпаки. Справді, рівняння рівносильне системі нерівностей

Тому, якщо кожне рівняння канонічної задачі замінити вище наведеною системою нерівностей, то отримуємо ЗЛП в симетричній формі.

З другого боку, нерівність очевидно, рівносильна рівнянню де –додаткове невідоме. Рівносильність тут розуміється в тому сенсі, що кожному розв’язку нерівності відповідає розв’язок рівняння і навпаки.

Отже, якщо кожну нерівність в системі обмежень симетричної задачі замінити рівносильним їй рівнянням, то симетрична задача набуде вигляду канонічної.

Симетрична і канонічна форми запису задачі є окремими випадками загальної задачі. Можна показати, що загальна задача може бути представлена у вигляді симетричної, а отже і канонічної форм.

При необхідності задачу максимізації можна замінити задачею мінімізації і навпаки.

Рис. 1.1

Зауваження 1.1. Як відомо, задача знаходження екстремальних точок функції розв’язується методами диференціального числення, які дозволяють визначати тільки такі екстремальні точки, які знаходяться всередині розглядуваної області, а не на її границі. В ЗЛП оптимальні значення цільової функції досягаються завжди на границі многокутника розв’язків. Тому для дослідження таких задач потрібно використовувати спеціальні математичні методи.