2.4. Матричне представлення графів

У випадку великої кількості вершин і дуг рисунок графа перестає бути наглядним. Тому для його задання використовують матриці. Найбільш вживаними в цьому плані є матриці суміжності, інцидентності, шляхів, циклів, перерізів. Більш детально зупинимося на перших трьох видах матриць.

Т ак для графа з n вершинами матриця суміжності є розмірності , а її елементи задаються формулою

Наприклад, для графа матриця суміжності має вигляд

Матриця інцидентності орієнтованого графа, складається з n стовпчиків і k рядків, де n – число вершин графа, а k – число дуг цього графа (пронумеруємо їх , ,…, ). Елементи матриці знаходяться за формулою:

Д ля графа

матриця інцидентності має вигляд

Для зв’язного графа, вершини якого перенумеровані, можна побудувати матрицю шляхів S наступним чином: рядки матриці повинні відповідати шляхам з першої вершини в останню, а стовпчики ребрам графа. Відповідно елемент матриці приймає значення 1 або 0 в залежності від того належить ребро графа даному шляху чи ні.

Так для графа

всеможливими шляхами є , , а матриця шляхів має вигляд

2.5 Мережі

Розглянемо орієнтовані зв’язні графи, які не мають петель. Їх називатимемо мережами. Оптимізаційні задачі на мережі можна описати наступними типами моделей.

2.5.1. Мінімізація мережі

Задача мінімізації мережі полягає в знаходженні ребер, які з’єднують всі вузли мережі і мають мінімальну сумарну довжину. Розв’язок задачі не повинен містити циклів. Він представляє собою мінімальне дерево. Його знаходження починаємо з будь-якого вузла, який з’єднуємо з найближчим вузлом мережі. З’єднані два вузли утворюють зв’язну множину, а всі решта – незв’язну. Тепер в незв’язній множині вибираємо вузол, який знаходиться найближче до одного з них і з’єднуємо їх. Процес повторюємо доти, доки у зв’язну множину не попадуть всі вузли мережі.

Приклад 2.1. Телевізійна фірма планує створити кабельну мережу для обслуговування п’яти районів-новобудов. Числа на ребрах вказують довжину кабеля, який з’єднує відповідні вузли. Вузол 1 – це телевізійний центр, а решта (2–6) відповідають п’яти новобудовам. Відсутність ребра між двома вузлами означає, що з’єднати ці вузли неможливо ( рис. 2.5).

Рис. 2.5

Розв’язок. Зобразимо на рис 2.6 поетапну побудову мінімальної мережі:

1.

2.

3.

4.

5.

Рис.2.6.

Вузол 3 можна зв’язувати як з вузлом 1 так і з вузлом 4. Оскільки всі вузли зв’язані, то мінімальна довжина кабелю дорівнює 1+3+4+5+3=16.

2.5.2.Задача про найкоротший шлях

Дана задача полягає в знаходженні зв’язаних доріг на транспортній мережі, які в сукупності мають мінімальну довжину від вихідного пункту до пункту призначення.

Приклад 2.2. На рис. 2.7 задана мережа, в якій вузол 1 – це початкова точка (вихідний пункт), а вузол 7 – кінцева точка (пункт призначення).

4

Рис. 2.7.

Потрібно знайти найкоротший шлях з пункту 1 в пункт 7 і його довжину.

Розв’язок. Позначимо через — відстань на мережі між суміжними вузлами і та j, — найкоротшу відстань між першим та j-им вузлом. Процедура знаходження найкоротшого шляху завершиться тоді, коли буде знайдено . Для знаходження використовуємо формулу .

Проведемо поетапне знаходження :

1. .

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

Мінімальна відстань між вузлами 1 і 7 дорівнює 13, а відповідний маршрут 1→2→5→7.