1.7.4. Алгоритм Гоморі

Р. Гоморі для отримання цілочислових розв’язків розробив алгоритм, який використовує відому симплексну процедуру. Як і в методі відтинаючих площин, спочатку ЗЦЛП розв’язується без умови цілочисельності. Якщо отриманий розв’язок є цілим, то задача розв’язана. В протилежному випадку до обмежень задачі додається ще одне, яке ми назвали правильним відтинанням.

Після цього отримана ЗЛП розв’язується з врахуванням нового обмеження. Потім, якщо потрібно, додається ще одне відтинаюче обмеження і т.д. до отримання повністю цілочислового розв’язку задачі.

Припустимо, що в результаті розв’язування СМ канонічної ЗЛП (1.41)–(1.43) одержали оптимальний план , в якому, наприклад, – неціла компонента. Нерівність

, (1.45)

сформована за k-им рядком, володіє всіма властивостями правильного відтинання.

В (1.45) символ означає дробову частину числа.

Визначення.1.21. Дробовою частиною числа а називають різницю між цим числом і його цілою частиною , тобто найменшим цілим, яке не перевищує а.

Наприклад, якщо , то якщо , то

Для розв’язування ЗЦЛП (1.41)–(1.44) використовують наступний алгоритм.

1. СМ розв’язуємо ЗЛП (1.41)–(1.43). Якщо всі компоненти оптимального плану цілі, то він є оптимальним і для ЗЦЛП (1.41)–(1.44). Якщо ЗЛП (1.41)–(1.43) не має розв’язку, то і ЗЦЛП (1.41)–(1.44) також не має розв’язку. Якщо ж серед компонент оптимального плану є нецілі, то переходимо до п.2.

2. Серед нецілих компонент вибираємо компоненту з найбільшою дробовою частиною і за відповідним рядком симплексної таблиці, яка містить нецілочисловий оптимальний план, будуємо правильне відтинання (1.45).

3. Нерівність (1.45), введенням додаткової невід’ємної цілочислової змінної, перетворюємо в еквівалентне рівняння і включаємо його в симплексну таблицю з нецілочисловим оптимальним планом.

4. Одержану розширену ЗЛП розв’язуємо СМ. Якщо одержаний оптимальний план буде цілочисловим, то ЗЦЛП (1.41)–(1.44) розв’язана. В іншому разі повертаємося до п.2.

Якщо задача має розв’язок в цілих числах, то після скінченного числа ітерацій оптимальний цілочисловий план буде знайдений. Якщо ж в процесі розв’язування з’явиться рядок з нецілим вільним членом і рештою цілих коефіцієнтів, то відповідне рівняння не має розв’язку в цілих числах. В цьому випадку і дана задача не має цілочислового оптимального плану.

Приклад 1.13. Знайти найбільше значення функції при обмеженнях

; , , – цілі числа.

Розв’язок. Розв’язуючи задачу без обмеження цілісності змінних СМ, одержали оптимальний план.

З

	-y2	-y3	1
y1	–1	–1	18
x1
x2	0	1	8
f

а рядком змінної х₁, яка набула нецілочислового значення в оптимальному плані, будуємо обмеження (1.45)

,

Ввівши додаткову цілочислову змінну , одержимо Доповнимо попередню таблицю ще одним рядком і провівши один крок перетворень Жордана-Гаусса, матимемо:

	–	–	1
	–1	–1	18				–	–	19
							1	–2	2
	0	1	8				–		7
	–	–	–					–	1
			25						25

З останньої таблиці отримуємо оптимальний цілочисловий план