2. Метод гілок і границь

Нехай потрібно максимізувати функцію за умови, що належить деякій скінченній множині G. Перш за все шукаємо верхню границю функції на множині всіх планів G. Далі множину G певним чином розбиваємо на декілька неперетинаючих підмножин . Потім на одержаних підмножинах шукаємо верхні границі функції . Нехай – підмножина, для якої , де Якщо тепер на цій підмножині знайдеться таке , що , то задача розв’язана: план є оптимальним. Якщо такий план не знайдено, то процес розбиття продовжуємо, починаючи з множини , для якої – найбільше. Оскільки множина всіх планів скінченна, то оптимальний план після скінченного числа розбиттів буде знайдений.

Приклад 1.12. Методом гілок і границь знайти найбільше значення функції при обмеженнях:

; ; , – цілі числа.

Розв’язок. Будуємо область допустимих планів.

Рис. 1.12

Якщо розглядати дану задачу без умови цілочисельності, то найбільше значення досягається в точці і дорівнює . . Оскільки, , то розіб’ємо G на дві частини: одна з них містить ті допустимі плани, в яких , а в другу увійдуть допустимі плани з . При цьому не буде втрачено жодного допустимого цілочислового розв’язку.

Знайдемо для функції верхні межі в областях і : і . Для цього розв’яжемо дві ЗЛП: знайти найбільше значення функції при обмеженнях

а) б)

де , – цілі числа. де , – цілі числа.

Рис.1.13

Розв’язуючи дані задачі без умови цілочисельності, встановлюємо, що найбільше значення функції f задачі а) досягається в точці і дорівнює , в задачі б) – в точці і дорівнює . Оскільки > , то розбиваємо на дві неперетинаючі підмножини і , а за додаткові обмеження візьмемо спочатку , а потім . Таким чином, приходимо до задачі: знайти найбільше значення функції при обмеженнях

в) г)

, – цілі числа. , – цілі числа.

Рис.1.14

З рисунка видно, що задачу в) можна не розглядати, оскільки вона не має жодного допустимого плану; що стосується задачі г) то в області точка задає її нецілочисловий оптимальний план з = = > .

Розбивши на дві неперетинаючі підмножини і , і взявши за додаткові обмеження спочатку , а потім , прийдемо до наступної пари ЗЛП: знайти найбільше значення функції при обмеженнях

д) е)

, – цілі числа. , – цілі числа.

Оптимальні плани задач д) і е) без умови цілочисельності визначаються точками і і = = 4. Оскільки , то ми можемо стверджувати, що в точках E і F функція дійсно досягає найбільшого значення..

Рис.1.15

Зауваження 1.10. При розв’язуванні конкретних задач методом гілок і границь оптимум нерідко вдається відшукати доволі швидко. Проте цю процедуру часто доводиться виконувати багато разів, оскільки в ході обчислень виникає необхідність в неодноразовому поверненні назад в пошуках нових гілок “дерева” можливих варіантів. У прикладі, який ми розглядали, нам не доводилось цього робити тільки тому, що > , а потім = > .