Контрольні запитання та задачі

1. Які ЗЛП належать до ТЗ?

2. Сформулюйте ТЗ за критерієм вартості.

3. Який вигляд має розподільча таблиця ТЗ?

4. Дайте визначення матриці тарифів ТЗ.

5. Що називається планом ТЗ?

6. Який вигляд мають цільова функція, система обмежень ТЗ?

7. Дайте математичне формулювання ТЗ.

8. Сформулюйте критерій існування допустимих розв’язків ТЗ.

9. Яка ТЗ називається задачею закритого типу, а яка – відкритого?

10. Як ТЗ відкритого типу зводиться до задачі закритого типу?

11. Чому дорівнює ранг матриці ТЗ?

12. Що називається замкненим циклом?

13. Які властивості опорного плану визначаються набором кліток циклу?

14. Які ви знаєте методи побудови опорного плану?

15. Дайте короткі характеристики методів “північно-західного кута”, “мінімальної вартості”.

16. Для чого використовується метод потенціалів і в чому його суть?

17. Методом “північно-західного” кута і методом мінімальної вартості скласти опорний план ТЗ і перевірити його на оптимальність. Критерій оптимальності – мінімізація загальних затрат.

а)	б)
в)	г)
д)	е)
є)	ж)

1.7. Цілочислове програмування

1.7.1. Постановка задачі цілочислового програмування (зцлп)

Серед економічних задач часто зустрічаються задачі з вимогою цілочисельності всіх або частини змінних, які одержали назву ЗЦЛП або частково цілочислового програмування. В ЦЛП змінні набувають іншого вигляду не неперервно, а за допомогою деяких цілих значень. До цілочислових задач зараховують задачі про розкрій матеріалу при умові одержання мінімуму відходів, задачі про перевезення неподільного вантажу та ряд інших.

В даній темі ми обмежимося лише розглядом ЗЦЛП, яка формулюється наступним чином: знайти план , за якого цільова функція

(1.41)

досягає найбільшого або найменшого значення при обмеженнях

; (1.42)

, ; (1.43)

– цілі числа. (1.44)

Порівнюючи дану модель ЗЦЛП із звичайною моделлю ЗЛП, бачимо, що вони відрізняються лише умовою (1.44).

Як ми вже знаємо, екстремум для ЗЛП досягається в крайній точці опуклої множини або в точці, яка є опуклою лінійною комбінацією крайніх точок. Для ЗЦЛП точкою екстремуму може бути будь-яка точка області допустимих розв’язків. Тому методи розв’язування ЗЛП не придатні для ЗЦЛП. Так, наприклад, якщо задачу (1.41)–(1.44) розв’язувати СМ, не враховуючи умову цілочисельності (1.44), то при заокругленні нецілих змінних оптимального плану можна одержати план, який не є оптимальним, або план, який взагалі не задовольняє системі обмежень. Отже, для розв’язування задач з вимогою цілочисельності необхідно розглядати особливі методи оптимізації, що ми і зробимо надалі.

2. Метод відтинаючих площин

Суть даного методу полягає в тому, що спочатку задача розв’язується без умови цілочисельності. Якщо одержаний план буде цілочисловим, то задача розв’язана, інакше до обмежень задачі необхідно додати нове обмеження, яке має певні властивості. Воно повинно: бути лінійним, відтинати знайдений оптимальний нецілочисловий план, не повинно відтинати жодного цілочислового плану.

Додаткове обмеження, яке має вказані властивості, називається правильним відтинанням.

Далі одержана задача розв’язується з врахуванням нового обмеження. Після цього у випадку необхідності додається ще одне обмеження і т.д.

Геометрично додавання кожного лінійного обмеження відповідає проведенню гіперплощини, яка відтинає від многогранника планів деяку його частину разом з оптимальною точкою з нецілими координатами, але не зачіпає жодної з цілочислових точок цього многогранника.

Приклад 1.10. Знайти найбільше значення функції при обмеженнях

, – цілі числа.

Розв’язок. Розв’язуючи задачу графічним методом, знайдемо, що найбільше значення досягається в точці і дорівнює 7. Проведемо пряму , яка відтинає від області допустимих значень точку В . Ми отримали нову область допустимих значень А^/В^/СDO.

Рис.1.11

Функція досягає найбільшого значення в точці , яке дорівнює

Проводимо пряму , яка відтинає від області допустимих значень точку В^/ . Для області допустимих значень функція f досягає найбільшого значення в точці , яке дорівнює Зауважимо, що проводячи пряму , ми відкинули з розгляду точку , для якої . Таким чином, цілочисловими розв’язками є: та , тобто .