3. Метод потенціалів для перевірки оптимальності плану тз

Метод потенціалів призначений для перевірки опорного плану ТЗ на оптимальність. Для цього кожному постачальнику і кожному споживачеві ставлять у відповідність певні числа і , які називають відповідно потенціалами постачальників і споживачів.

Метод потенціалів базується на теоремах теорії потенціалів, які подамо без доведень.

Теорема 1.13. Якщо план ТЗ є оптимальним, то йому відповідає система з чисел і , яка задовольняє умови:

для

для

Теорема 1.14. Якщо при підстановці компонент оптимального плану в систему обмежень вихідної задачі і-те обмеження перетворюється в нерівність, то і-та компонента оптимального плану ТЗ дорівнює нулю.

З теореми 1.13 випливає, що для оптимальності опорного плану необхідне виконання наступних умов: а) для кожної заповненої клітки , : б) для кожної незаповненої клітки :

Перевірку плану на оптимальність методом потенціалів проілюструємо на конкретному прикладі.

Приклад 1.10. За умовою прикладу 1.8. знайти оптимальний план ТЗ.

Розв’язок. З прикладу 1.9. план 2 є опорним, оскільки заповнених клітин є .

Перевіримо план 2 на оптимальність. Для цього побудуємо систему рівнянь для визначення потенціалів.

Нехай, , одержимо:

Оцінимо незаповнені клітинки:

(1; 1) : (1; 2) :

(2; 3) : (3; 2) :

(3; 3) : (3; 4) :

Умова оптимальності порушується в двох клітках (3; 2) і (3; 4). Заповнимо клітку (3; 4) за циклом

переміщаючи вантаж в кількості . Витрати при цьому зменшуються на і дорівнюватимуть =425 одиниць.

Одержаний план запишемо у вигляді наступної розподільчої таблиці:

План 3

Постачальники	Споживачі								Запаси
	B1		B2		B3		B4
А1	-	5	-	4	20	1	40	2	60	u1= 1
А2	15	4	25	2	-	6	-	3	40	u2=0
А3	25	7	-	3	-	5	10	4	35	u3= 3
Потреби у вантажі	40		25		20		50		135
	v1 = 4		v2 = 2		v3 = 0		v4 = 1

Перевіримо отриманий розв’язок на оптимальність. Для цього запишемо систему рівнянь для знаходження потенціалів:

Нехай , отримаємо:

Оцінимо незаповнені клітки:

(1; 1) : (1; 2) :

(2; 3) : (2; 4) :

(3; 2) : (3; 3) :

Умова оптимальності порушується в клітці (3; 2). Її будемо заповнювати, зробивши перерозподіл вантажу, за циклом

При цьому витрати зменшаться на од. і дорівнюватимуть f₂=375 одиниць. Отримаємо наступний план перевезень.

План 4

Постачальники	Споживачі								Запаси
	B1		B2		B3		B4
А1	-	5	-	4	20	1	40	2	60	u1=0
А2	40	4	0	2	-	6	-	3	40	u2=1
А3	-	7	25	3	-	5	10	4	35	u3= 2
Потреби у вантажі	40		25		20		50		135
	v1 =3		v2 =1		v3 =1		v4 = 2

П

Вважаємо, що , одержимо:

еревіримо план 4 на оптимальність. Складаємо систему рівнянь для знаходження потенціалів.

Оцінимо незаповнені клітки:

(1; 1) : (1; 2) :

(2; 3) : (2; 4) :

(3; 1) : (3; 3) :

Як бачимо, для всіх незаповнених клітин виконується умова оптимальності.

Звідси випливає, що план є оптимальним. При цьому f_min =375.