Контрольні запитання та задачі

1. Складіть математичну модель задачі розподілу ресурсів, запишіть до неї ДЗ і дайте їх економічну інтерпретацію.

2. Сформулюйте алгоритм запису ДЗ.

3. Який зв’язок між розв’язками вихідної та ДЗ і який метод дозволяє їх знаходити?

4. Який вигляд має симплексна таблиця для пари ДЗ?

5. Сформулюйте основну нерівність двоїстості.

6. В якому випадку допустимі плани пари ДЗ будуть оптимальними?

7. Яка необхідна і достатня умова того, щоб задачі двоїстої пари мали оптимальні плани?

8. Яка необхідна і достатня умова того, щоб допустимі плани пари ДЗ були оптимальними?

9. Чому дорівнює оптимальна оцінка ресурсу, який використовується не повністю?

10. Яка оцінка відповідає найбільш дефіцитному ресурсу?

11. На що вказує величина двоїстої оцінки певного ресурсу?

12. Побудувати ДЗ до ЗЛП, в якій потрібно знайти найбільше значення функції .

а)

б)

в)

г)	д)	е)
є)	ж)	з)
и)

1. 6. Транспортна задача(тз)

1.6.1. Постановка тз. Відкрита і закрита моделі

ТЗ – задача про найбільш економний план перевезення однорідного вантажу з пункту постачання в пункт споживання, є важливою частиною ЗЛП і має широке практичне застосування. Вона вирізняється в ЛП визначеністю економічної характеристики, особливостями математичної моделі, наявністю специфічних методів розв’язування.

Формулювання ТЗ за критерієм вартості наступне: в m пунктах відправлення знаходиться відповідно одиниць однорідного вантажу, який потрібно завезти n споживачам в кількостях одиниць відповідно. Відомі транспортні затрати перевезення одиниці вантажу з і-го пункту відправлення в j-ий пункт споживання. Потрібно скласти такий план перевезень, тобто знайти, скільки одиниць вантажу потрібно відправити з і-го пункту відправлення в j-ий пункт споживання, щоб повністю задовольнити потреби, а сумарні затрати на перевезення були мінімальними. Для наочності умови ТЗ представимо у вигляді розподільчої таблиці.

Нехай кількість вантажу, який перевозиться з і-го пункту постачання в j-ий пункт призначення, дорівнює . Запас вантажу в і-му пункті відправлення визначається величиною , а потреба j-го пункту призначення в вантажі рівна . Вважаємо, що всі .

Таблиця 1.5

Постачальники	Споживачі					Запаси вантажу
	B1		…	Bn
А1	x11	c11	…	x1n	c1n	a1
…	…		…	…		…
Аm	xm1	cm1	…	xmn	cmn	am
Потреби у вантажі	b1		…	bn

Визначення 1.17. Матриця називається матрицею тарифів або транспортних витрат (витрати на перевезення одиниці вантажу від і-го постачальника до j-го споживача).

Визначення 1.18. Планом ТЗ називається матриця , де кожне число визначає кількість одиниць вантажу, які потрібно завезти з і-го пункту відправлення в j-ий пункт призначення.

Матрицю називають ще матрицею перевезень.

Загальні сумарні затрати, пов’язані з реалізацією плану перевезень, можна представити цільовою функцією

. (1.37)

Змінні повинні задовольняти обмеженням за запасами і потребами, тобто

(1.38)

(1.39)

Дамо математичне формулювання ТЗ: знайти серед множини розв’язків системи (1.38) такий невід’ємний розв’язок, який мінімізує функцію (1.37).

Легко побачити, що система (1.38) містить рівнянь з невідомими.

Наступна теорема, яку ми подаємо без доведення, містить необхідну і достатню умову (є критерієм) того, щоб ТЗ мала допустимі плани.

Теорема 1.11. Для того, щоб ТЗ мала допустимі плани, необхідно і достатньо, щоб виконувалась рівність

. (1.40)

Зауваження 1.9. Як зазначалось вище, ТЗ є ЗЛП, а отже, може бути розв’язана за допомогою СМ. Проте при великій кількості постачальників і споживачів задача стає громіздкою. Тому для знаходження розв’язків ТЗ використовують спеціальний метод, який дозволяє розбити розв’язок на декілька етапів, на кожному з яких розв’язується простіша, з точки зору реалізації, задача, але в кінцевому підсумку одержується її оптимальний розв’язок.

Згідно з теоремою 1.11 необхідною і достатньою умовою існування допустимих розв’язків є виконання рівності (1.40). Постає питання: як бути у випадку, коли сама рівність не виконується? Нам доведеться розглядати два тісно пов’язані типи ТЗ.

Визначення 1.19. ТЗ називається задачею закритого типу (збалансованою задачею), якщо виконується рівність (1.40).

Визначення 1.20. ТЗ називається задачею відкритого типу, якщо

або .

Відкриту модель можна перетворити в закриту. Так, якщо , то в математичну модель ТЗ вводиться фіктивний -ий пункт призначення . Для цього в матриці задачі записують додатковий стовпчик, для якого потреби рівні різниці між сумарними запасами постачальників і фактичними потребами споживачів:

.

Всі тарифи на перевезення вантажу в цей пункт будемо вважати рівними нулю. Цим самим відкрита модель задачі перетворюється в закриту. Для нової задачі цільова функція одна і та ж, оскільки ціни на додаткові перевезення рівні нулю.

Якщо ж , то вводиться фіктивний -ий пункт відправлення , якому приписують запас вантажу, що дорівнює

.

Тарифи на постачання вантажу від цього фіктивного постачальника знову будемо вважати рівними нулю. В матриці додається один рядок; на цільову функцію це не вплине, а система обмежень задачі стане сумісною.

Надалі всі викладки проводитимемо для закритих моделей ТЗ. Вони будуть придатні, згідно з вищесказаним, і для відкритих моделей.

Для ТЗ важливе значення має наступна теорема:

Теорема 1.12. Ранг матриці ТЗ на одиницю менший від числа рівнянь, тобто дорівнює .

З наведеної теореми випливає, що кожний опорний план повинен мати вільних змінних, рівних нулю, і базисних змінних.

План перевезень ТЗ задачі будемо шукати безпосередньо в розподільчій таблиці. Вважатимемо, що якщо змінна набуде значення , то у відповідну клітку будемо записувати це значення; якщо ж , то клітку залишаємо вільною. З врахуванням теореми 1.12 опорний план повинен містити зайнятих кліток, решта будуть вільними.

Вказані вимоги до опорного плану не є єдиними. Опорні плани повинні задовольняти ще одній вимозі, пов’язаній з циклами.

Визначення 1.21. Набір кліток матриці перевезень, в якому дві і тільки дві сусідні клітки розміщені в одному рядку або одному стовпчику, а остання клітка набору лежить в тому ж рядку або стовпці, що і перша, називається замкнутим циклом.

Цю сукупність кліток записують так:

… .

Графічно цикл представляє собою замкнуту ламану лінію, ланки якої лежать тільки в рядках або стовпчиках. При цьому кожна ланка з’єднує дві клітки цикла.

З набором кліток цикла пов’язані наступні властивості планів ТЗ:

а) допустимий план ТЗ є опорним тоді і тільки тоді, коли із зайнятих цим планом кліток не можна утворити жодного циклу (ациклічність розв’язку);

б) якщо маємо опорний план, то для кожної вільної клітки можна утворити тільки один цикл, який містить дану клітку і деяку частину зайнятих кліток.