1.5.2. Теореми двоїстості. Економічний зміст оптимальних планів пари дз

Теореми двоїстості (подаємо без доведень) вказують на взаємозв’язок між допустимими та оптимальними планами, цільовими функціями та системами обмежень пари ДЗ (1.27)–(1.28) і (1.29)–(1.30).

Сформулюємо спочатку основну нерівність двоїстості: для будь-яких допустимих планів , прямої і двоїстої задач завжди справедлива нерівність або .

Теорема 1.7. Якщо і – допустимі плани пари ДЗ (1.27)–(1.28) і (1.29)–(1.30), для яких виконується рівність , то – оптимальний план задачі (1.27)–(1.28), а – задачі (1.29)–(1.30).

Теорема 1.8. Для того, щоб задачі двоїстої пари мали оптимальні плани, необхідно і досить, щоб кожна з цих задач мала хоча б один допустимий план.

Теорема 1.9. Якщо одна з ДЗ має оптимальний план, то і інша теж має оптимальний план, причому для будь-яких оптимальних планів і виконується рівність .

Якщо ж одна з ДЗ нерозв’язна ( або ), то друга задача не має допустимих планів. Якщо одна з пари взаємно ДЗ не має допустимого плану, то звідси не випливає, що цільова функція другої задачі необмежена.

Для задачі розподілу ресурсів (1.27) – (1.28) теорема 1.3 означає, що максимально можливий прибуток від реалізації продукції співпадає з мінімально можливою вартістю сировини .

Теорема 1.10. Для оптимальності допустимих планів і прямої і двоїстої задач (1.27)–(1.28) і (1.29)–(1.30) необхідно і достатньо, щоб виконувались співвідношення: якщо , то якщо , то де і – оптимальні плани відповідно прямої і ДЗ.

З економічної точки зору розв’язування вихідної задачі дозволяє отримати оптимальний план випуску продукції, а розв’язування двоїстої – оптимальну систему умовних оцінок використаних ресурсів.

Оптимальні плани пари взаємно ДЗ зв’язані не тільки рівністю значень цільових функцій, але й іншими співвідношеннями. Так на основі теореми 1.10 встановлюється зв’язок між обмеженнями і змінними пари взаємно ДЗ. Розглядатимемо вихідну задачу як задачу про розподіл ресурсів, а двоїсту – про визначення умовних оцінок ресурсів. Тоді змінні і обмеження будуть зв’язані наступним чином: якщо за оптимальним планом вихідної задачі деякий і-ий ресурс використовується не повністю, тобто , то його оптимальна оцінка дорівнює нулю ( ); якщо ж затрати на ресурси, які використовуються при виробництві одиниці j-го продукту, перевищують дохід від його реалізації, то він не виробляється, тобто .

Таким чином, можемо стверджувати, що позитивну двоїсту оцінку можуть мати лише ресурси, які повністю використовуються в оптимальному плані; оцінки не повністю використаних ресурсів завжди рівні нулю. Найбільшій величині оцінки відповідає найбільш дефіцитний ресурс, недефіцитному ресурсу відповідає оцінка, рівна нулю. Величина двоїстої оцінки певного ресурсу показує, на скільки зросло б максимальне значення цільової функції, якщо б об’єм даного ресурсу збільшився на одиницю.

1.5.3. Двоїстий см

Як було сказано вище, між вихідною і ДЗ існує відповідність. Виникає питання про існування зв’язку (відповідності) між їхніми розв’язками. Для цього розглянемо метод, який дозволяє отримати розв’язки вихідної і ДЗ. Його будемо називати двоїстим СМ. Розглянемо наступну ЗЛП: знайти найбільше значення функції

(1.31)

при обмеженнях

(1.32)

Тоді двоїстою до неї буде: знайти найменше значення функції

, (1.33)

при обмеженнях

(1.34)

Вихідні дані пари ДЗ можна представити в одній симплексній таблиці, перетворивши самі задачі. Введемо для вихідної задачі змінні так, щоб вона звелася до задачі в канонічній формі. Тоді (1.32) набуде вигляду:

Далі,

(1.35)

Змінні будуть базисними. Для ДЗ введемо змінні так, щоб

(1.36)

Враховуючи вищесказане, прийдемо до наступної таблиці 1.4

Таблиця 1.4

		v1	v2	…	vl	0	…	0	F
		–x1	–x2	…	–xl	–xl+1	…	–xn	1
u1	y1	a11	a12	…	a1l	a1,l+1	…	a1n	b1
u2	y2	a21	a22	…	a2l	a2,l+1	…	a2n	b2
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
uk	yk	ak1	ak2	…	akl	ak,l+1	…	akn	bk
uk+1	0	ak+1,1	ak+1,2	…	ak+1,l	ak+1,l+1	…	ak+!,n	bk+1
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
um	0	am1	am2	…	aml	am,l+1	…	amn	bm
1	f	–c1	–c2	…	–cl	–cl+1	…	–cn	0

Відомо, що якщо вихідна задача має розв’язок, то його має і двоїста, причому . Розв’язуючи вихідну задачу і маючи відповідність між змінними вихідної і ДЗ: , ми можемо записати її оптимальний розв’язок. Розглянемо конкретний приклад реалізації двоїстого СМ.

Приклад 1.7. Записати ДЗ до задачі: знайти найбільше значення функції при обмеженнях

і знайти її розв’язок двоїстим СМ.

Розв’язок. Використовуючи алгоритм запису пари ДЗ, одержимо наступну ДЗ: знайти найменше значення функції при обмеженнях:

, u₃, u₄ – вільні змінні.

Вихідні дані пари ДЗ помістимо в симплексну таблицю:

		v1	v2	v3	v4	F
		–x1	–x2	–x3	–x4	1
u1	y1	–3	1	4	1	1
u2	y2	3	–2	2	–2	–9
u3	0	–2	1	1	3	2
u4	0	–3	2	–3	0	7
1	f	–10	1	42	52	0

Розв’язуючи вихідну задачу, виключаємо 0–рядки, а заодно і вільні змінні для двоїстої. В першому 0-рядку вибираємо будь-який додатний коефіцієнт, наприклад, (1) з другого стовпчика і складаємо відношення

На перетині першого рядка і другого стовпчика лежить розв’язуючий елемент (1). Здійснивши один крок перетворень Жордана-Гаусса, прийдемо до наступної таблиці

		v1	u1	v3	v4	F
		–x1	–y1	–x3	–x4	1
v2	x2	–3	1	4	1	1
u2	y2	–3	2	10	0	–7
u3	0	1	–1	–3	2	1
u4	0	3	–2	–11	–2	5
1	f	–7	–1	38	51	–1

Оскільки 0-рядки не виключені, то в першому 0-рядку вибираємо додатний елемент (1) і складаємо відношення вільних членів до однойменних за знаком елементів розв’язуючого стовпчика:

Число (1), яке є розв’язуючим елементом, належить до розглядуваного 0-рядка. Після здійснення одного кроку перетворень Жордана-Гаусса , отримаємо

		u3	u1	v3	v4	F
		0	–y1	–x3	–x4	1
v2	x2	3	–2	–5	7	4
u2	y2	3	–1	1	6	–4
v1	x1	1	–1	–3	2	1
u4	0	–3	1	–2	–8	2
1	f	7	–8	17	65	6

Виписуємо співвідношення для визначення вільної змінної u_3, а даний стовпчик виключаємо з таблиці: ,

		u1	v3	v4	F
		–y1	–x3	–x4	1
v2	x2	–2	–5	7	4
u2	y2	–1	1	6	–4
v1	x1	– 1	–3	2	1
u4	0	1	–2	–8	2
1	f	–8	17	65	6

Оскільки існує єдине відношення , то елемент (1) 0–рядка буде розв’язуючим. Здійснивши один крок перетворень Жордана-Гаусса, отримаємо

		u4	v3	v4	F
		0	–x3	–x4	1
v2	x2	2	–9	–9	8
u2	y2	1	–1	–2	–2
v1	x1	1	–5	–6	3
u1	y1	1	–2	–8	2
1	f	8	1	1	22

Звідси . Викресливши 0-стовпчик і провівши послідовно один за одним два перетворення Жордана-Гаусса, прийдемо до наступних симплексних таблиць

		v3	v4	F				u2	v4	F
		–x3	–x4	1				–y2	–x4	1
v2	x2	–9	–9	8		v2	x2	–9	9	26
u2	y2	–1	–2	–2		v3	x3	–1	2	2
v1	x1	–5	–6	3		v1	x1	–5	4	13
u1	y1	–2	–8	2		u1	y1	–2	–4	6
1	f	1	1	22		1	f	1	–1	20

		u2	v3	F
		–y2	–x3	1
v2	x2			17
v4	x4			1
v1	x1			9
u1	y1			10
1	f			21

З останньої таблиці виписуємо оптимальний розв’язок вихідної задачі: і двоїстої ; ; ; ; ; ; .

Значення вільних змінних u₃, u₄ ДЗ будуть: