Контрольні запитання та задачі

1. В чому полягає властивість скінченності алгоритму СМ?

2. Що таке “явище зациклення”?

3. Для яких форм запису ЗЛП можна застосовувати алгоритм СМ?

4. Дайте відповіді на наступні запитання:

а) коли опорний план оптимальний?

б) в якому випадку від одного опорного плану можна перейти до іншого з більшим значенням цільової функції?

в) коли цільова функція необмежена на множині планів?

г) в якому випадку ЗЛП має нескінченну множину оптимальних планів?

5. Як визначаються змінні, які вводяться і виводяться з базису відповідно?

6. Який елемент називається розв’язуючим?

7. Сформулюйте алгоритм одного кроку перетворення Жордана-Гаусса.

8. Як визначають розв’язуючий стовпчик і рядок, якщо серед вільних членів задачі є від’ємні? Що роблять у випадку, коли розв’язуючий елемент належить розглядуваній стрічці і коли не належить?

9. Що роблять після того, коли всі вільні члени стали невід’ємними?

10. Якщо в системі обмежень є обмеження-рівняння, то чому рівна базисна змінна? З чого починається розв’язок ЗЛП в цьому випадку?

11. Сформулюйте алгоритм виключення 0-рядка.

12. Методом тотожних перетворень знайти найбільше значення функції при умові невід’ємності змінних:

а)	б)
в)	г)

13. Знайти з допомогою симплексних таблиць найбільше значення функції f при умові невід’ємності змінних .

а)	б)	в)
г)	д)	е)
є)	ж)	з)
и)	і)	ї)
й)	к)

1.5. Двоїстість в ЛП

1.5.1. Загальні зауваження

Кожній ЗЛП можна поставити у відповідність деяку іншу задачу, яку будемо називати двоїстою (ДЗ) по відношенню до першої. Тобто в ЛП можна говорити про існування пари ДЗ. Першу задачу ми будемо називати вихідною, а другу – двоїстою до першої і навпаки. Цільова функція і обмеження ДЗ цілком визначаються умовами вихідної задачі. Виявляється, що якщо знайти розв’язки однієї із задач пари ДЗ, то цим цілком визначаються розв’язки іншої.

Розглянемо методику побудови ДЗ до задачі розподілу ресурсів. Як відомо, математична модель такої задачі має вигляд: знайти найбільше значення функції

(1.27)

при обмеженнях

(1.28)

Задачу (1.27) – (1.28) будемо вважати вихідною. Складемо двоїсту до неї. Для цього введемо змінні (їх кількість дорівнює кількості обмежень m вихідної задачі), які будемо називати уявними цінами. Зміст цього терміну стане зрозумілим пізніше.

Нехай – цільова функція. Якщо – ціна одиниці сировини, то F визначатиме витрати на сировину. Тоді ДЗ запишеться так: знайти найменше значення функції

(1.29)

при обмеженнях (витрати на одиницю виробу повинні бути не менші за його ціну)

(1.30)

Задачі (1.27) – (1.30) утворюють пару ДЗ.

Сформулюємо алгоритм побудови пари ДЗ:

1. Вводимо змінні ДЗ. Їх кількість дорівнює кількості обмежень (не рахуючи обмежень невід’ємності змінних) вихідної задачі.

2. Коефіцієнтами цільової функції ДЗ є вільні члени вихідної задачі.

3. Коефіцієнтами матриці обмежень ДЗ є коефіцієнти транспонованої матриці системи обмежень вихідної задачі.

4. Вільними членами системи обмежень ДЗ є коефіцієнти цільової функції для вихідної задачі.

5. Якщо цільова функція вихідної задачі максимізується, то ДЗ – мінімізується, причому .

Дамо економічну інтерпретацію вихідної та ДЗ.

Економічна інтерпретація задачі (1.27)–(1.28): скільки і якої продукції потрібно виготовити для того, щоб при заданих ресурсах цінах і питомих затратах максимізувати прибуток f від реалізації виготовленої продукції.

Економічна інтерпретація задачі (1.29)–(1.30): якою повинна бути ціна одиниці сировини для того, щоб при заданих ресурсах цінах за одиницю продукції , питомих затратах мінімізувати витрати на сировину.

Приклад 1.5. Скласти ДЗ до задачі: знайти найбільше значення функції при обмеженнях

Розв’язок. Введемо змінні ДЗ (кількість рівна кількості обмежень вихідної задачі). Тоді ДЗ запишеться: знайти найменше значення функції при обмеженнях

.

Якщо вихідна задача представлена в загальному виді, то до пунктів (1) – (5) алгоритму запису ДЗ слід додати наступні.

6. Обмеженням типу рівності в вихідній задачі будуть відповідати вільні змінні ДЗ і навпаки (вільним змінним вихідної задачі відповідають обмеження типу рівності ДЗ).

7. В обмеженнях типу рівності в вихідній задачі вільний член повинен бути невід’ємним. Якщо він від’ємний, то відповідне обмеження в вихідній задачі слід помножити на (–1).

8. Обмеженням типу нерівності вихідної задачі відповідають невід’ємні змінні ДЗ.

9. Якщо вихідна задача містить обмеження , то обмеження в ДЗ будуть протилежними, тобто , причому якщо у вихідній задачі функція максимізується, то обмеження мають бути , якщо мінімізується, то .

Таким чином, для запису ДЗ слід спочатку систему обмежень вихідної задачі звести до обмежень з однаковим знаком або , а потім скористатися вищенаведеним алгоритмом запису пари ДЗ (п.п.1–9).

Приклад 1.6. Записати ДЗ до задачі: знайти найбільше значення функції

при обмеженнях

х₄ – вільна змінна.

Розв’язок. Перше і друге обмеження помножимо на (–1). Одержимо:

вільна змінна.

ДЗ матиме вигляд: знайти найменше значення функції при обмеженнях

, и₁ – вільна змінна.