4. Алгоритм см для злп, представлених в загальному виді

Характерним для задач, представлених в загальному виді, є те, що серед обмежень на змінні є обмеження і , а також можуть бути вільні змінні. Для цих задач розв’язування починається з пошуку опорного розв’язку. Тому, якщо знайдений будь-який опорний розв’язок, то його оптимізація зводиться до методу, що описаний в попередньому пункті.

Отримання опорного розв’язку для задач з обмеженням типу і .

При записі даних задачі в симплексну таблицю серед вільних членів задачі будуть і від’ємні. Щоб отримати опорний розв’язок, їх потрібно зробити невід’ємними. Для цього серед них вибираємо найбільший за модулем від’ємний. Потім в даному рядку вибираємо будь-який від’ємний коефіцієнт (якщо такі відсутні, то система обмежень є суперечливою), який визначить розв’язуючий стовпчик. Далі складаємо відношення вільних членів b_i до однойменних за знаком коефіцієнтів розв’язуючого стовпчика. Найменше відношення визначить розв’язуючий рядок. На перетині розв’язуючого рядка і стовпчика буде знаходитись розв’язуючий елемент. Тут можливі два випадки:

– розв’язуючий елемент належить розглядуваному рядку;

– розв’язуючий елемент не належить розглядуваному рядку.

В першому випадку після здійснення одного кроку перетворень Жордана-Гаусса відповідний вільний член стане додатним. Аналогічно здійснюємо перетворення з від’ємними вільними членами, що залишились. Коли всі вільні члени стануть невід’ємні, то розв’язок, який представляється даною симплекс-таблицею, буде опорним. Для отримання оптимального розв’язку поступаємо як в пункті 1.4.3 даного параграфу.

В другому випадку після виконання одного кроку перетворень Жордана-Гаусса розглядуваний вільний член може і далі залишатися від’ємним. Тоді реалізацію вибору розв’язуючого елемента при від’ємних вільних членах виконуємо знову. За скінченного числа кроків модифікованих виключень одержимо опорний розв’язок, або покажемо, що ЗЛП його не має.

Зауваження 1.7. При виконанні перетворень Жордана-Гаусса кількість від’ємних вільних членів не збільшиться.

Отримання опорного розв’язку для задач з обмеженням типу

Для таких задач базисні змінні рівні нулю. Для їх виключення ці змінні потрібно перевести наверх таблиці (тобто вивести з базису). Цей процес називають виключенням 0-рядка.

Для виключення 0-рядків розв’язуючий елемент вибирають наступним чином. У відповідних 0-рядках симплексної таблиці вільні члени роблять невід’ємними. Якщо серед вільних членів є від’ємні, то елементи відповідного рядка домножують на (–1). В симплексній таблиці вибираємо будь-який 0-рядок і в ньому додатний елемент, який визначить розв’язуючий стовпчик. Далі складаємо відношення вільних членів до однойменних за знаком коефіцієнтів розв’язуючого стовпчика, найменше з яких визначить розв’язуючий рядок. На перетині розв’язуючого стовпчика і рядка знаходиться розв’язуючий елемент. Тут можливі два випадки:

– розв’язуючий елемент належить розглядуваному 0-рядку;

– розв’язуючий елемент не належить розглядуваному 0-рядку.

В першому випадку після здійснення одного кроку перетворень Жордана-Гаусса “0” переходить наверх симплексної таблиці, і стовпчик, який йому відповідає, виключаємо з розгляду (викреслюємо). Далі виключаємо наступний 0-рядок. За скінченне число кроків ми повністю виключимо всі 0-рядки або покажемо, що ЗЛП розв’язку не має. Після виключення всіх 0-рядків ми можемо отримати опорний розв’язок (всі вільні члени невід’ємні), або знаходитися на етапі пошуку опорного розв’язку (серед вільних членів є від’ємні). В такому випадку ми повинні реалізувати алгоритм отримання опорного розв’язку ЗЛП, наведений вище.

У випадку, коли розв’язуючий елемент не належить розглядуваному 0-рядку, ми повинні з ним виконати один крок перетворень Жордана-Гаусса і реалізацію алгоритму виключення 0-рядка почати спочатку.

Зауваження 1.8. Ми розглядали ЗЛП, в яких потрібно знайти найбільше значення цільової функції. Якщо ж потрібно знайти найменше значення, то достатньо замінити на – , оскільки , і повторити вищенаведені міркування.

Приклад 1.3. Знайти найменше значення функції при обмеженнях

Розв’язок. Помноживши друге обмеження системи на (–1) і врахувавши, що , де , умову задачі перепишемо так: знайти найбільше значення функції при обмеженнях

Ввівши базисні змінні у₁, у₂, у₃ так, щоб

перейдемо до симплексної таблиці:

	–x1	–x2	–x3	–x4	1
0	1	2	–2	1	4
y2	–3	1	–1	1	–3
y3	1	0	–1	2	7
z	1	3	–1	2	0
		

Оскільки в симплексній таблиці є 0-рядок, то розв’язок починаємо з його виключення. Вибираємо в ньому будь-який додатній елемент, наприклад 2, який буде розв’язуючим, оскільки є тільки одне відношення однойменних за знаком вільних членів до елементів розв’язуючого стовпчика . Виконавши один крок перетворень Жордана-Гаусса, отримаємо:

	-x1	0	–x3	–x4	1
х2	1/2	1/2	–1	1/2	2
y2	–7/2	–1/2	0	1/2	–5
y3	1	0	–1	2	7
z	–1/2	–3/2	2	1/2	–6

Викресливши в даній таблиці відповідний 0-стовпчик, дістанемо

	–x1	–x3	–x4	1
х2	1 /2	–1	1/2	2
y2	–7/2	0	1/2	–5
y3	1	–1	2	7
z	–1/2	2	1/2	–6
	

В цій таблиці серед вільних членів є від’ємний (–5) і виписати опорний розв’язок неможливо. Тому в рядку, що містить від’ємний вільний член, вибираємо будь–який від’ємний коефіцієнт, наприклад (–7/2). Він визначить розв’язуючий стовпчик. Складаємо відношення вільних членів до однойменних за знаком коефіцієнтів розв’язуючого стовпчика і знаходимо Другий рядок розв’язуючий, а елемент (–7/2) – розв’язуючий. Виконавши один крок перетворень Жордана-Гаусса, матимемо

	– у2	–x3	–x4	1
х2	1/7	–1	4/7	9/7
x1	–2/7	0	–1/7	10/7
y3	2/7	–1	15/7	39/7
z	–1/7	2	3/7	–37/7
	

Оскільки серед вільних членів відсутні від’ємні коефіцієнти, то отримаємо опорний план: , , який не є оптимальним, оскільки в z-рядку є від’ємні елементи.

Коефіцієнт (–1/7) z-рядка визначає розв’язуючий стовпчик. Для знаходження розв’язуючого рядка шукаємо Отже, перший рядок буде розв’язуючим, а (1/7) – розв’язуючим елементом. Після проведення одного кроку перетворень Жордана-Гаусса приходимо до таблиці

				1
				9
				4
				3
	1	1	1	–4

Розв’язок буде оптимальним. Враховуючи те, що , отримаємо

Реалізація алгоритму СМ для ЗЛП з вільними змінними

Якщо в ЗЛП є вільні змінні, то розв’язок починаємо з виключення цих вільних змінних. При цьому не накладаємо жодних умов на вибір розв’язуючого елемента. Основна мета – виключити вільну змінну. Для цього її перекидаємо наверх симплексної таблиці, виписуємо вираз для неї, а даний стовпчик виключаємо з таблиці. Так поступаємо з рештою вільних змінних. Далі знаходимо опорний розв’язок і оптимізуємо його. Після цього за значеннями змінних в розв’язку визначаємо значення вільних змінних (за співвідношеннями, виписаними для вільних змінних). Проілюструємо це на прикладі.

Приклад 1.4. Знайти найбільше значення функції при обмеженнях

Розв’язок. Ввівши базисні змінні так, щоб

приходимо до наступної симплексної таблиці

	– x1	–x2	1
y1	–1	–2	1	
y2	–2	–1	–4
y3	–1	1	1
y4	–1	4	13
y5	4	–1	23
f	3	–6	0
	

Оскільки на х₁ і х₂ не накладені умови невід’ємності, то вони вважаються вільними і їх потрібно виключити. Для виключення змінної х₁ виберемо за розв’язуючий елемент (–1). Здійснивши один крок перетворень Жордана-Гаусса, дістанемо:

	–у1	–x2	1
х1	–1	2	–1
y2	–2	3	–6
y3	–1	3	0
y4	–1	6	12
y5	4	–9	27
f	3	–12	3

звідки: , а відповідний рядок виключаємо з таблиці:

	–у1	–x2	1
y2	–2	3	–6
y3	–1	3	0
y4	–1	6	12
y5	4	–9	27
f	3	–12	3

Виключивши вільну змінну х₂, отримуємо

	–у1	–у2	1
х2	–2/3	1/3	–2
y3	1	–1	6
y4	3	–2	24
y5	–2	3	9
f	–5	4	–21

Виписавши вираз для , відповідний рядок виключаємо з симплексної таблиці:

	–у1	–у2	1
y3	1	–1	6	
y4	3	–2	24
y5	–2	3	9
f	–5	4	–21
	

Оскільки всі вільні члени додатні, то розв’язок , , , , є опорним, але не оптимальним. Підставивши одержані значення в вирази для х₁ і х₂, матимемо , .

В -рядку вибираємо від’ємний елемент (–5), який визначає розв’язуючий стовпчик. Будемо збільшувати змінну . З того, що , випливає, що перший рядок є розв’язуючим, а 1 – розв’язуючий елемент. Виконавши один крок перетворень Жордана-Гаусса, дістанемо

	–у3	–у2	1
y1	1	–1	6
y4	–3	1	6	
y5	2	1	21
f	5	–1	9
		

Даний план не є оптимальним. Після проведення одного кроку перетворень Жордана–Гаусса приходимо до таблиці:

			1
			12
			6
			15
	2	1	15

Отже, план – оптимальний. Підставляючи отримані значення в вирази для вільних змінних, дістанемо оптимальний план: