3.2 Структурні формули кінематичних ланцюгів

Якщо на рух ланки у просторі не накладено ніяких умов в'язів, то вона має шість ступенів вільності (рухомості).

Якщо число ланок кінематичного ланцюга дорів­нює k, то загальне число ступенів вільності, які мали k ланок до їхнього з'єднання у кінематичні пари, дорівнюватиме 6k.

Кожна кінематична пара накладає різне число в'язів на відносний рух ланок, що залежить від класу пари. Так, кожна пара 5-го класу віднімає 5 ступенів вільності, кожна пара 4-го класу – 4 ступені вільності і т.д.

По­значимо число пар І класу, що входять до складу ланцюга, через р₁, II  р₂, III  р₃, IV  р₄, V  р₅.

Клас кінематичної пари ви­значається числом умов в'язів, які накладає кожна кінема­тична пара на відносний рух ланок.

Тоді число ступенів вільності H, що їх має кінематичний ланцюг, становить

Н = 6k  5р₅  4р₄  3p₃  2р₂  р₁. (3.1)

Якщо одна з ланок кінематичного лан­цюга буде нерухомою, то загальне число ступенів вільності ла­нок ланцюга зменшиться на шість, тобто число ступенів вільності (рухомості) відносно нерухомої ланки

W = Н  6. (3.2)

Підставляючи у (3.2) замість Н його вираз з (3.1), одержуємо формулу рухомості або структурну формулу кінематичного ланцюга загального вигляду:

W = 6(k 1)  5p₅  4р₄  Зp₃  2р₂  р₁. (3.3)

Якщо в (3.3) величину k -1 позначити через n (число рухомих ланок кінематичного ланцюга), то отримаємо формулу Сомова – Малишева для визначення числа ступенів вільності просторового механізму:

W = 6n  5р₅  4р₄  3p₃  2р₂  р₁, (3.4)

Застосування цієї формули можливе тільки у тому випадку, коли на рухи ланок, які входять до складу механізму, не накла­дено будь-яких загальних додаткових умов.

Так, можна поставити вимогу, щоб у механізмі, який складається тільки з обертових пар V класу, осі всіх цих пар бу­ли паралельні, або перетиналися в одній точці, або перетиналися у двох точках і т. п. Виявляється, що такі додаткові вимоги істот­но змінюють характер руху механізму і змінюють відповідно вигляд структурної формули механізму.

Нехай, наприклад, у механізмі, який складається з оберто­вих пар V класу, осі всіх пар паралельні (рисунок 3.8).

Рисунок 3.8 – Осі всіх обертових пар механізму паралельні

Виберемо систему координат хуz так, щоб напрямок осі х збігався з напрямком осей пар, а осі у і z лежали у площині, перпендикулярній до осей пар. Тоді неважко переконатися, що в цьому випадку ланки механізму ОАВС рухатимуться паралель­но загальній площині, яка містить осі у і z, тобто маємо так зва­ний плоский механізм.

Не трудно визначити обмеження, що накладено на рухи всіх ланок ме­ханізму умовою паралельності осей усіх кінематичних пар: ланки механізму не можуть мати обертового руху навколо осей у і z і поступального руху вздовж осі х, тобто з шести можливих рухів три не можуть бути здійсненими.

Якщо в загальному випадку число ступенів вільності рухомих ланок механізму дорівнює 6n, то для плоского механізму:

W = (6  3)n = 3n,

тобто тіло в плоскому русі має три ступеня вільності (два поступальні вздовж осей у і z, один обертовий навколо осі х).

Відповідно з п'яти в'язів, які накла­дає пара V класу, у цьому механізмі вона накладати­ме тільки 5  3 = 2, оскіль­ки три в'язі вже накладено умовою паралельності осей пар. Тоді структурна форму­ла механізму (3.4) перепишеться так:

W = (6 – 3)n – (5 – 3)p₅ – (4 – 3)p₄ – (3 – 3)p₃ ,

тобто ступені вільності (рухомості) плоского механізму або структурна формула Чебишова для плоских механізмів загального вигляду має вигляд:

W = 3n – 2p₅ – p₄ . (3.5)

До складу плоских механізмів можуть входити тільки пари IV і V класів, причому пари IV класу  вищі, V  нижчі.

Приклад визначення числа ступенів вільності плоского механізму:

Механізм має 5 ланок, з них рухомих n = 4 і 5 кінематичних пар 5 класу (р₅ = 5); кінематичні пари 4 класу відсутні (р₄ = 0). Визначимо число ступенів вільності W механізму:

W = 3n – 2p₅ – p₄ = 3  4 – 2  5 – 0 = 12 – 10 = 2.