6.2.2 Обчислення інтегралів: завдання для самостійної та домашньої робіт Вправи

1. Обчислити з точністю до 0,001 інтеграли:

а) б) в)

2. Визначити довжину однієї півхвилі синусоїди з точністю до 0,001.

3. Знайти з точністю до 0,001 координати центра маси дуги гіперболи між точками з абсцисами

4. При яких значеннях наближені формули та дають похибку, що не перевищує 0,01; 0,001?

5. Обчислити з точністю до 0,0001.

6. Обчислити з точністю до 0,001.

7. Обчислити з точністю до 0,001.

8-14.За допомогою розкладу підінтегральної функції в ряд обчислити наступні інтеграли:

8. . 9. . 10. .

11. . 12. .

13. . 14. .

Відповіді: 8) 1. 9) . 10) .

11) . 12) . 13) . 14) .

15-24.Обчислити з точністю до 0,001 визначений інтеграл, використовуючи розклад підінтегральної функції в степеневий ряд і почленне інтегрування отриманого ряду.

25. . 26. . 27. . 28. .

29. . 30. . 31. . 32. .

23. . 24. .

25 – 34. Обчислити визначений інтеграл з точністю до 0,001, розклавши підінтегральну функцію в степеневий ряд та проінтегрувавши його почленно.

25. 26. 27

28. 29.

30. 31.

32. 33.

34.

В задачах 35 – 44 виразити в формі ряду інтеграли, використовуючи розклад в ряд підінтегральних функцій; вказати області збіжності одержаних рядів.

35. . 36. 37. . 38. . 39. .

40. . 41. . 42. . 43. .

44. .

В задачах 45 – 49 обчислити наближене значення визначених інтегралів, взявши вказане число членів розкладу підінтегральної функції в ряд; вказати похибку.

45. (3 члени). 46. (3 члени).

47. (2 члени). 48. (6 членів).

49. (2 члени).

В задачах 50 – 53 обчислити з точністю до 0,001 інтеграли

50. . 51. . 52. . 53. . 54. Показати, що в інтервалі функція відрізняється від функції не більше як на 0,0000001.

55. Приймаючи до уваги тотожність обчислити з 10 правильними знаками.

56. Обчислити інтеграл .

57. Обчислити з точністю до 0,0001.

58. Обчислити з точністю до 0,001. 59. Розкласти в ряд Тейлора функцію двома способами: шляхом безпосереднього обчислення послідовних похідних при та шляхом множення відповідних рядів.

Різні задачі

60. Обчислити площу, обмежену лінією , віссю ординат і прямою , з точністю до 0,001.

61. Обчислити площу овалу з точністю до 0,01.

62. Обчислити довжину дуги лінії від вістря до точки перетину з параболою з точністю до 0,0001.

63. Обчислити довжину однієї на півхвилі синусоїди з точністю до 0,001.

64. Фігура, обмежена лінією , віссю абсцис і прямою , обертається навколо осі абсцис. Обчислити об’єм тіла обертання з точністю до 0,001.

65. Фігура, обмежена лініями , прямою і віссю ординат, обертається навколо осі ординат. Обчислити об’єм тіла обертання з точністю до 0,001.

66. Обчислити з точністю до 0,001 координати центра мас дуги гіперболи , обмеженої точками з абсцисами та .

67. Обчислити з точністю до 0,01 координати центра мас криволінійної трапеції, обмеженої лінією , прямими і віссю абсцис.

Відповіді:

35) .

36) .

37) .

38) .

39) .

40) .

41) .

42) .

43) .

44) .

45) 0,3230; похибка 0,0001. 46) 0,24488; похибка 0,00001.

47) 0,4971; похибка 0,0001. 48) 3,518; похибка 0,001.

49) 0,012; похибка 0,001. 50) 32,831. 51) 0,487. 52) 0,006. 53) 0,494. 55) 3,141592654.

56) Вказівка. Представити в формі , розкласти в ряд за степенями і проінтегрувати вирази вигляду . 57) 0,6449. 58) 0,511.

59) 60) 1,015. 61) 3,71. Вказівка. Обчислювати площу за формулою незручно, тому що відповідний ряд при збігається повільно. Необхідно обчислити площу сектора, обмеженого лінією, віссю ординат і бісектрисою першого координатного кута. Це дає змогу одержати ряд, який швидко збігаєтьться.

62) 0,2505. 63) 3,821. 64) 0,119. 65) 1,225. 66) (0,347; 2,996). 67) (1,71; 0,94).