Подання функцій за допомогою рядів Тейлора (Маклорена): задачі для сомостійної роботи

1. Дано рівняння . Користуючись методом невизначених коефіцієнтів, знайти розклад функції в ряд Тейлора за степенями . Розв’язати задачу, знайшовши коефіцієнти ряду Тейлора послідовним диференціюванням.

2.Дано рівняння . Користуючись методом невизначених коефіцієнтів, знайти розклад функції в ряд Тейлора за степенями . Розв’язати задачу, знайшовши коефіцієнти ряду Тейлора послідовним диференціюванням.

В задачах 3 – 5 розв’язати рівняння відносно (знайти явне вираження для ) за допомогою ряду Тейлора двома способами: методом невизначених коефіцієнтів і послідовним диференціюванням.

3. (знайти три члени розкладу).

4. (знайти два члени розкладу).

5. (знайти три члени розкладу).

Відповіді:

1)

2)

3) 4) 5)

6.1.2 Обчислення інтегралів: теоретичні відомості

Якщо підінтегральна функція у визначеному інтегралі неперервна на відрізку , але її первісна не елементарна функція, то формула Ньютона-Лейбніца

не дає змоги обчислити цей інтеграл. Якщо функцію можна розкласти в степеневий ряд

який рівномірно збігається до на відрізку , то, використовуючи теорему про о членне інтегрування ряду, маємо

Обчисливши з необхідною точністю суму ряду, одночасно з тією самою точністю знайдемо і значення визначеного інтеграла.

6.1.3 Інтегрування диференціальних рівнянь: теоретичні відомості

В деяких випадках, коли інтегрування диференціального рівняння в елементарних функціях не можливе, розв’язок такого рівняння шукають у вигляді степеневого ряду:

(5.20)

Невизначені коефіцієнти знаходяться шляхом підстановки ряду (5.26) в рівняння і прирівнюванні коефіцієнтів при однакових степенях різниці в лівій і правій частинах одержаної рівності.

Якщо вдається знайти всі коефіцієнти ряду, то отриманий ряд визначає розв’язок у всій своїй області збіжності.

В тих випадках, коли для рівняння потрібно розв’язати задачу Коші (задано початкову умову ), розв’язок можна знаходити за допомогою ряду Тейлора:

, (5.21)

де , а подальші похідні знаходять послідовним диференціюванням початкового рівняння і підстановкою в результат диференціювання замість значень і всіх останніх знайдених наступних похідних. Аналогічно за допомогою ряду Тейлора можна інтегрувати і рівняння вищих порядків.

6.1.4 Обчислення границь: теоретичні відомості

При знаходженні границь деякі з виразів, що входять під знак границі, заміняють рядами Маклорена (при ) або Тейлора (при ).

6.2 Наближені обчислення за допомогою рядів

6.2.1 Наближені обчислення значень функцій: приклади розв’язування завдань

Приклад 1

Обчислити з точністю до 0,0001.

Розв’язування. Переведемо градусну міру кута в радіанну:

При з рівності (5.4) матимемо числовий ряд:

. (1)

Обчислюємо послідовно значення модулів членів одержаного ряду:

Отже, для забезпечення заданої точності відповідно до оцінки (5.10) в ряді (1) досить взяти два перші члени, тобто

Приклад 2

Користуючись розкладом в ряд, обчислити з точністю до 0,0001.

Розв’язування. Маємо

Достатньо взяти три члена ряду, оскільки Тому

Аналогічно обчислюємо і значення функції . Саме в такий спосіб складаються таблиці тригонометричних функцій.

Приклад 3

Обчислити число з точністю до 0,001.

Розв’язування. Застосуємо співвідношення (5.11) та (5.12). Оскільки нерівність виконується при , то шукане значення числа визначається рівністю

.

Приклад 4

Обчислити з точністю до 0,00001.

Розв’язування. Використавши розклад (5.13), одержимо

. Визначимо число так, щоб похибка наближеної рівності

не перевищувала 0,00001. Скористаємося оцінкою похибки (5.14). Покладемо тоді

.

Шляхом підбору визначимо, при якому значенні буде виконуватися нерівність Наприклад, при , , тобто - недостатня точність. Далі: при , , тобто ; при , , тобто . Тому, приймаємо :

Знайдемо суму доданків:

Отже, . Кожний доданок ми обчислювали з точністю до 0,000001, щоб їх сума не перевищувала похибки в 0,00001.

Приклад 5

Обчислити з точністю до 0,00001.

Розв’язування. Маємо

.

Одержаний ряд – це ряд лейбніцівського типу, оскільки , то одержуємо:

Приклад 6

Обчислити число з точністю 0,001.

Розв’язування. Застосувавши ряд (5.5) при матимемо:

Звідки

Обчислимо модулі послідовних членів:

Оскільки, , то шукане значення числа знайдемо, залишивши в ряді перші п’ять членів, тобто

Приклад 7

В прямокутному трикутнику катети рівні 1 і 5 см. Визначити гострий кут трикутника, який лежить проти меншого катета, с точністю до 0,0012 радіан.

Розв’язування. Оскільки то . Скористаємося розкладом (5.5): , звідки .

Приклад 8

Довести справедливість тотожності і обчислити з точністю до 0,001.

Розв’язування. Поклавши в рівності (рівність очевидна, оскільки тангенси обох частин дорівнюють ) , одержуємо , або

Скориставшись розкладом (5.5), одержимо:

.

Виконавши обчислення, знайдемо . Для обчислення числа можна користуватися рядами, які збігаються швидше (див. вище), ніж застосовані в цьому прикладі.

Приклад 9

Обчислити з точністю до 0,001.

Розв’язування. 1^й спосіб. З формули (5.16) при знаходимо

. (1)

Знайдемо формулу для оцінки похибки:

Для забезпечення точності обчислення, потрібно взяти членів ряду (1), де число визначається нерівністю

Цю нерівність задовольняє . Тому,

Таким чином,

2^й спосіб. (з точністю до 0,0001) Прийнявши у формулах (5.18) та (5.19) одержимо:

Шляхом підбору визначимо так, щоб виконувалася нерівність . Якщо , то тобто ; якщо , то тобто ; якщо , то тобто . Отже, і для обчислення одержуємо наближену рівність:

Звідки:

Приклад 10

Обчислити з точністю до 0,0001.

Розв’язування. Скористаємося розкладом (5.6):

,

або

,

звідки .

Приклад 11

Обчислити з точністю до 0,0001.

Розв’язування. Прийнявши у формулах (5.18) та (5.19) , одержимо:

Якщо , то якщо , то Тому, для досягнення вказаної точності, достатньо взяти два члени ряду. Врахувавши, що , одержуємо:

.

Приклад 12

Обчислити з точністю до 0,001.

Розв’язування. Подамо заданий корінь у вигляді

Прийнявши та з рівності (5.7) одержуємо

(1)

Ряд (1) – це ряд лейбніцівського типу. Обчислимо члени ряду за модулем:

Тому, в ряді (1) залишаємо три члени, які забезпечують значення заданого кореня з точністю до 0,001. Одержуємо:

Таким чином,

Приклад 13

Обчислити з точністю до .

Розв’язування. Скористаємося розкладом (5.7), поклавши , .

Одержуємо

Відкинувши четвертий і наступні за ним члени, оскільки четвертий член менший за 0,0001, остаточно одержуємо

.

Приклад 14

Обчислити з точністю до 0,001.

Розв’язування. Оскільки є найближчим до числа 130 кубом цілого числа, то доцільно число 130 представити у вигляді двох доданків:

Тоді, з врахуванням (5.7),одержуємо:

Оскільки четвертий член менший за 0,001, тому відкинувши його і наступні за ним члени, остаточно маємо:

, тобто .