6.2.1 Наближені обчислення значень функцій: завдання для самостійної та домашньої робіт
1. Обчислити з точністю до 0,0001:
а)
;
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
і)
Обчислити:
2. з точністю до 0,00001.
3.
з точністю до 0,00001.
4.
з точністю до 0, 0001.
5.
з точністю до 0,0001.
6.
з точністю до 0,0001.
7.
з точністю до 0, 001.
8.
з точністю до 0,0001.
9.
з точністю до 0,0001.
10.
з точністю до 0,000001.
11.
з точністю до 0,0001.
12. Знайти найменше додатне значення
,
що задовольняє тригонометричне рівняння
.
13. Обчислити
з точністю до 0,0001, вважаючи, що
в розкладі
.
Розв’язати задачі 1-21
Обчислити наближене значення
,
взявши три члени розкладу в ряд Маклорена
функції
,
і оцінити похибку.
Обчислити наближене значення
,
взявши три члена розкладу в ряд Маклорена
функції
,
і оцінити похибку.Обчислити наближене значення
,
взявши чотири члена розкладу в ряд
Маклорена функції
,
і оцінити похибку.
В задачах 4 – 11, користуючись формулою
розкладу в ряд Маклорена функцій
і
,
обчислити вказані вирази.
4.
з точністю до 0,001.
5. з точністю до 0,001.
6.
з точністю до 0,0001.
7.
з точністю до 0, 0001.
8.
з точністю до 0,0001.
9.
з точністю до 0,001.
10.
з точністю до 0,00001.
11. з точністю до 0,0001.
В задачах 12 – 18, користуючись формулою
розкладу в ряд Маклорена функції
,
обчислити вказані корені з точністю до
0,001.
12.
.
13.
.
14.
.
15.
.
16.
.
17.
.
18.
.
В задачах 19 – 21, користуючись формулою
розкладу в ряд Маклорена функції
,
обчислити вказані вирази.
19. з точністю до 0,0001.
20.
з точністю до 0,000001.
21.
з точністю до 0,0001.
Відповіді до задач 1-21: 1) 1,39; похибка 0,01. 2) 0,3090; похибка 0,0001.
3) 2,154; похибка 0,001. 4) 7,389. 5) 1,649. 6) 0,3679. 7) 0,7788.
8) 0,0175. 9) 1,000. 10) 0,17365. 11) 0,9848. 12) 3,107. 13) 4,121.
14) 7,937. 15) 1,005. 16) 3,017. 17) 5,053. 18) 2,001. 19) 1,0986.
20) 0,434294. 21) 0,6990.
6.2.2 Обчислення інтегралів: приклади розв’язування завдань Вправи
1.Обчислити інтеграли:
а)
з точністю до 0,001;
б)
з точністю до 0,0001.
Розв’язування. А) У теорії ймовірностей
важливу роль відіграє функція
,
яку називають функцією Лапласа або
інтегралом імовірностей. Обчислити
значення цієї функції точно не можна,
бо
не виражається через елементарні
функції. Якщо підінтегральну функцію
розкласти вряд, використавши ряд (5.2)
(замінивши в ньому
на
)
а потім проінтегрувати одержаний ряд
в межах від 0 до
,
то для
одержимо ряд:
Тому
(5.19)
За формулою (5.19) для функції
складають таблиці значень з наперед
заданою точністю. Нам, фактично, потрібно
обчислити
з точністю до 0,001. При
одержуємо
Одержали ряд лейбніцівського типу. Послідовне обчислення модулі його членів дає:
Отже,
б) Функцію
називають інтегральним синусом. Нам,
фактично, необхідно обчислити
з точністю до 0,0001. Розкладемо функцію
в ряд за степенями
,
поділивши почленно степеневий ряд для
на
.
Одержимо
.
Тоді
Оскільки одержали ряд лейбніцівського типу, то обчислення значень модулів послідовних членів ряду дає:
Тому,
2.Обчислити
з точністю до 0,0001.
Замінивши в підінтегральному виразі його розкладом в степеневий ряд, одержимо:
3.Обчислити
з точністю до 0,001.
Обчислити
з точністю до 0,001.
