2.6. Графическое представление уравнения парной линейной регрессии

Эмпирические ряды регрессии Y по Х и Х по Y изображаются в виде линейного графика, при построении которого наиболее точным является использование способа наименьших квадратов, предложенного в 1806 г. К. Гауссом и независимо от него А. Лежандром. В основу этого способа положена теорема, согласно которой сумма квадратов отклонений вариант (x_i) от средней арифметической ( ) есть величина наименьшая, т. е. . Отсюда и название метода, который нашел широкое применение не только в биологии, но и в технике. Мы уже говорили об этом методе и применяли его, когда находили параметры а и b линейной регрессии, отыскивая эмпирическое уравнение.

При графическом изображении эмпирического уравнения регрессии (например, показатели роста и веса 10 исследуемых), представленного на рисунке 2.2 используется следующая последовательность:

1. Определив форму и направление взаимосвязи между эмпирическими данными на основе данных расчета нормированного коэффициента корреляции, производят расчет уравнений регресиии (прямого и обратного) по формуле (2.13).

2. Подставляя в конечный вид уравнений, выражающих зависимость между переменными величинами Y и X, эмпирические данные x_i и y_i находят координаты точек линий регрессии для усредненных значений y_x и x_y.

3. На графике, выполненном в прямоугольной системе координат, на оси x откладывают значения переменных x_i, на оси у – значения y_i и отмечают точками рассчитанные координаты линий регрессии для усредненных значений y_x и x_y (рис.2.2).

4. Две линии регрессии на графике пересекаются в точке М с координатами средних значений показателей x_i и y_i.

Рис.2.2. Графическое изображение эмпирического уравнения регрессии.

График линий регрессии отражает ряды теоретически ожидаемых значений функции по известным значениям аргумента. При этом, чем сильнее взаимосвязь между величинами x_i и y_i, тем меньше угол между линиями регрессии. При r = линии уравнения регресии либо совпадают, либо расположены параллельно, так как корреляционная зависимость между признаками в этом случае переходит в функциональную. И, наоборот, чем слабее зависимость между признаками, тем больше угол между линиями на графике. При r = 0 линии регрессии расположены перпендикулярно.

Просмотрите примеры решения задач.

Пример 2.2. Рассчитать и построить график уравнения прямолинейной регрессии для относительных значений PWC₁₇₀ и времени челночного бега 3х10 м у 13 исследуемых и сделать вывод о точности расчета уравнений, если данные выборок таковы:

x_i, кГ м/мин/кг ~ 15,6; 13,4; 17,9; 12,8; 10,7; 15,7; 11,7; 12,3; 12,3; 11,1; 14,3; 12,7; 14,4

y_i, с ~ 6,9; 7,2; 7,1; 6,7; 7,6; 7,0; 6,4; 6,9; 7,7; 7,6; 7,9; 8,2; 6,8

Решение

1. Занести данные тестирования в рабочую таблицу и сделать соответствующие расчеты.

xi	xi -	(xi - )2	yi	yi –	(yi – )2	(xi - )(yi – )
15.6	2.1	4.41	6.9	-0.3	0.09	-0.63
13.4	-0.1	0.01	7.2	0	0	0
17.9	4.4	19.36	7.1	-0.1	0.01	-0.44
12.8	-0.7	0.49	6.7	-0.5	0.25	0.35
10.7	-2.8	7.84	7.6	0.4	0.16	-1.12
15.7	2.2	4.84	7.0	-0.2	0.04	-0.44
11.7	-1.8	3.24	6.4	-0.8	0.64	1.44
12.3	-1.2	1.44	6.9	-0.3	0.09	0.36
12.3	-1.2	1.44	7.7	0.5	0.25	-0.60
11.1	-2.4	5.76	7.6	0.4	0.16	-0.96
14.3	0.8	0.64	7.9	0.7	0.49	0.56
12.7	-0.8	0.64	8.2	1	1	-0.80
14.4	0.9	0.81	6.8	-0.4	0.16	-0.36
= 13.5		=50,92	= 7,2		=3,34	= -2,64

1. Рассчитать значение нормированного коэффициента корреляции по формуле:

2. Рассчитать конечный вид уравнений прямолинейной регрессии по формулам (2) и (3):

(2)

(3)

Т.е.

4. Рассчитать абсолютные погрешности уравнений регрессии по формулам (4) и (5):

5. Рассчитать относительные погрешности уравнений регрессии по формулам (6) и (7):

6. Для графического представления корреляционной зависимости между признаками рассчитать координаты линий регрессии, подставив в конечный вид уравнений (1) и (2) данные любого исследуемого (например, четвертого из списка).

Тогда:

1. при х = 12,8 кГм/мин/кг у =7,235 с » 7,2 с;

2. при у = 6,7 с х = 13,895 с » 13,9 кГм/мин/кг.

7. Представить графически данное уравнение регрессии.

8. На основании произведенных расчетов и графического изображения уравнения регрессии сделать вывод.

Вывод:

1) в исследуемой группе наблюдается недостоверная обратная взаимосвязь между данными относительных значений PWC₁₇₀ и времени челночного бега 3х10 м, т.к. r_ху = -0,20 < r_st = 0,55 для К= 11 при = 95%;

2) относительная погрешность функции у_х = 7,875 – 0,05х меньше (7,22%), а, следовательно, прогноз результата в челночном беге по данным относительных значений пробы PWC₁₇₀ более точен;

3) на графике линии уравнения регрессии расположены почти под прямым углом, так как значения коэффициента корреляции близки к нулю.