10. Методические указания.

Определителем первого порядка A = (a₁₁) называется элемент a₁₁:

∆₁ = ׀ А׀ = a₁₁.

Определителем второго порядка А =(a_ij) называют число, которое вычисляется по формуле:

Произведения a₁₁a₂₂ и a₁₂a₂₁ называются членами определителя второго порядка.

Определителем третьего порядка A = (a_ij) называется число, которое вычисляется по формуле:

∆₃ = ׀А׀ = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₂₁a₃₂a₁₃ – a₃₁a₂₂a₁₃ – a₁₂a₂₁a₃₃ – a₃₂a₂₃a₁₁.

Это число представляет алгебраическую сумму, состоящую из 6 слагаемых, или 6 членов определителя. В каждое слагаемое входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы. Знаки, с которыми члены определителя входят в формулу, легко запомнить, пользуясь схемой, которая называется правилом треугольников или правилом Сарруса.

a₁₁ a₁₂ a₁₃

a₂₁ a₂₂ a₂₃

a₃₁ a₃₂ a₃₃

Минором M_ij элемента a_ij матрицы n-го порядка называется определитель матрицы (n – 1)-го порядка, полученной из матрицы А вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

Алгебраическим дополнением A_ij элемента a_ij матрицы n-го порядка называется его минор, взятый со знаком (-1)^i+j:

A_ij = (-1)^i+j M_ij

Т.е. алгебраическое дополнение совпадает с минором, когда сумма номеров строки и столбца (I + j) – нечетное число.

Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки ( столбца) на их алгебраические дополнения:

∆ = a_i1A_i1 + a_i2A_i2 + … + a_inA_in =

( разложение по элементам j-го столбца; j = 1,2, …, n).

Свойства определителей.

1. Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей, то ее определитель равен 0.

2. Если все элементы какой-либо строки ( столбца) матрицы умножить на число λ, то ее определитель умножится на это число λ.

3. При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется.

4. При перестановке двух строк ( столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.

5. Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки ( столбца), то ее определитель равен 0.

6. Если элементы двух строк ( столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен 0.

7. Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки ( столбца) матрицы прибавить элементы другой строки ( столбца), предварительно умноженные на одно и то же число.

Матрицей размера m*n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк по n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Матрицы обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита, например, A, B, C, …, а для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с двойной индексацией : a_ij, где i- номер строки, j- номер столбца.

Например,

Виды матриц. Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором) - строкой, а из одного столбца – матрицей (вектором) - столбцом:

А= ( a₁₁ a₁₂ , …, a_1n) – матрица-строка;

b₁₁

B= b₂₁

_…

b_m1

Матрица называется квадратной n- го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно n.

Элементы матрицы a_ij, у которых номер столбца равен номеру строки ( i = j), называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы. Для квадратной матрицы главную диагональ образуют элементы a₁₁, a₂₂, … , a_nn.

Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной.

Е сли у диагональной матрицы n-го порядка все диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной матрицей n-го порядка, она обозначается буквой E.

1 0 0

E= 0 1 0

0 0 1

Матрица любого размера называется нулевой, или нуль-матрицей, если все ее элементы равны нулю.