3. Середня гармонічна

Другою за частотою використання серед середніх величин у статистиці є середня гармонічна. Середню гармонічну використовують коли чисельник дробу ЛФР відомо, а знаменник – ні. Середня гармонічна — це обернена величина до середньої арифметичної. Вона також буває простою і зваженою.

Формула середньої гармонічної простої застосовується за не згрупованими даними і має такий вигляд:

(4.8)

де х — варіанти, окремі значення ознаки; п — кількість варіантів.

Формула середньої гармонічної зваженої використовується при обчисленні показників за попередньо згрупованими даними, коли невідомий знаменник дробу ЛФР. Вона має вигляд:

(4.9)

де ω –обсяги явищ (x·f), х – окремі значення ознаки.

Середню гармонічну зважену застосовують для обчислення середньої урожайності по групі однорідних культур або групі господарств, якщо відомі валовий збір і урожайність окремих культур; продуктивності праці, коли відомі обсяг виробництва та і денний виробіток одного працівника; для визначення середнього процента виконання плану виробництва і реалізації продукції по однорідній сукупності, якщо відомі дані про кількість фактично виробленої продукції і рівень виконання плану по окремих об'єктах тощо.

Як уже зазначалося найбільшого поширення в статистиці займають чотири середні величини: середня арифметична проста і зважена, середня гармонічна проста і зважена. Проте також у статистиці можливе використання середньої хронологічної, геометричної та квадратичної.

Середню хронологічну використовують при обрахунках середнього рівня показника на певну дату. ЇЇ формула має вигляд:

, (4.10)

де х_1, х_2, х_3, х_п - окремі значення ознаки на певну дату періоду; п- кількість досліджуваних періодів.

Середню геометричну використовують для визначення середніх темпів зростання, тобто коли загальний обсяг явищ становить не суму, а добуток ознак х. Середня геометрична також буває простою і зваженою.

Формула простої середньої геометричної, її застосовують при рівних коефіцієнтах зростання :

, (4.11)

де П –добуток; х_і - ВВД, виражені відношенням і-го значення показника до попереднього; п – кількість варіант.

Середня геометрична зважена використовується при аналізі динаміки з метою визначення середнього темпу зростання.

(4.12)

Середню квадратичну використовують в основному для оцінки ва­ріації (мінливості, коливання) ознак. Вона також буває простою і зваженою.

Середня квадратична проста має формулу для розрахунку:

(4.13)

А середньої квадратичної зваженої відповідно:

. (4.14)

4. Структурні середні

Для характеристики сукупності використовують структурні середні такі як: моду, медіану, квартиль і дицель. На практиці використовуються перші дві структурні величини – мода та медіана. Розглянемо кожну з них більш детально.

Мода (Мо) – значення ознаки (варіанта), що найчастіше повторюється у ряді розподілу. Якщо в ряду розподілу всі варіанти повторюються однаково часто, тобто частоти окремих ознак між собою рівні, то моду неможливо визначити, так як її не має. Коли в ряду розподілу два варіанти мають найбільші і однакові частоти, говорять, що ряд розподілу має дві моди. І його називають бімодальним.

Обчислення моди залежить від того, яким рядом розподілу представлені дані статистичної сукупності. У дискретному ряді розподілу моду визначають за найбільшою частотою ознаки. Наприклад:

1. якщо ряд варіаційний, тобто дані представлені в тому порядку, в якому вони були зібрані: 12593647839310

2. ранжирований ряд, коли дані статистичної сукупності представлені в порядку зростання або зменшення: 12333456789910

3. динамічний ряд, тобто вказано розмір явища і кількість одиниць сукупності з відповідним значенням ознаки:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	1	3	1	1	1	1	1	2	1

У всіх трьох випадках мода визначається як варіанта ознаки, що зустрічається найбільшу кількість раз у ряді розподілу, тобто Мо =3.

Якщо ж дані представляються з допомогою інтервального ряду розподілу, то обчислення (визначення) моди здійснюється за допомогою формули:

(4.15)

де x_mo - мода; x₀ –нижня межа модального інтервалу; h –величина модального інтервалу; f_mo –частота модального інтервалу; f_mo-1 –частота інтервалу перед модальним; f_mo+1 –частота інтервалу після модального.

Спочатку необхідно визначити модальний інтервал. Він визначається за графою частот: інтервал, що відповідає найбільшій частоті – і є модальним.

Наприклад, дано інтервальних ряд розподілу:

1-2	2-3	3-4	4-5	>5
2	4	3	2	1

1. Визначаємо модальний інтервал. Так як найбільша частота складає 4, то модальний інтервал буде – другим (2-3).

2. Підставимо дані у формулу і обчислимо моду:

Медіана (Ме) –величина ознаки, що займає середнє положення в ряді показників. Тобто це такий розмір явища, який ділить ряд розподілу пополам ( на дві рівні частини). Так само, як мода медіана визначається в залежності від типу представлення вихідних даних.

У дискретному ряді розподілу медіана визначається на основі кумулятивних (нагромаджених) частот. Медіаною буде значення ознаки, кумулятивна частота якої більша за половину обсягу сукупності. При цьому, якщо, кількість одиниць сукупності парна, то нагромаджені частоти слід поділити на 2 і розрахувати середню з двох центральних варіантів. При непарній кількості одиниць сукупності центр розподілу визначають додаванням до суми частот одиниці і діленням знайдених даних на 2.

В інтервальному ряді розподілі медіану визначають за формулою. При цьому спочатку знаходять медіанний інтервал, тобто інтервал, в якому є значення ознаки, що ділить ряд розподілу на дві частини. Саму ж медіану обчислюють за формулою:

, (4.16)

де х_ме –медіана; х₀ –нижня межа медіанного інтервалу; h- величина медіанного інтервалу; f- частоти; S - сума нагромаджених частот перед медіанним інтервалом;f_me - частота медіанного інтервалу.