2.2Делимость многочленов. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида. Расширенный алгоритм Евклида.

Рассматриваются многочлены над числовым полем. Говорят, что многочлен f(x) делится на многочлен g(x), если остаток от деления равен нолю.

Для пары многочленов f(x) и g(x) под общим делителем будем понимать многочлен, который делит f(x) и g(x) без остатка. Общий делитель определён с точностью до числового множителя.

Общий делитель пары многочленов f(x) и g(x) наибольшей степени называется наибольшим общим делителем, и обозначается НОД(f(x),g(x)).

Многочлен наименьшей степени, делящийся на f(x) и g(x) называется их наименьшим общим кратным и обозначается НОК(f(x),g(x)).

Теорема 2.8 Если многочлен делится на многочлены f(x) и g(x), то он делится и на их наименьшее общее кратное.

Доказательство Пусть , а - многочлен, делящийся на f(x) и g(x). Поделим на с остатком , здесь - частное, а - остаток. Выразим . По условиям, правая часть равенства делится без остатка на f(x) и g(x). Таким образом, делится на f(x) и g(x) и имеет степень меньше , что возможно только если

Теорема 2.9 Наибольший общий делитель пары многочленов f(x) и g(x) делится без остатка на любой их общий делитель.

Для доказательства достаточно заметить, что наибольший общий делитель является наименьшим общим кратным общих делителей этих многочленов.

Теорема 2.10 НОД(f(x),g(x))=НОД(f(x)-v(x)g(x),g(x))

Доказательство. Положим и . Поскольку делится на , то делится без остатка на . Аналогично, из равенства вытекает делимость на , а, значит и делимость на . Таким образом многочлены и отличаются только числовым множителем.

Из теоремы вытекает алгоритм Евклида, если в качестве v(x) выбирать частное от деления f(x) на g(x).

Теорема 2.11 Для произвольных многочленов f(x) и g(x) найдутся такие многочлены v(x) и w(x), степень которых не превосходит степени f(x) и g(x), соответственно, что f(x)w(x)+v(x)g(x)=НОД(f(x),g(x)).

Теорема вытекает очевидным образом из алгоритма Евклида.

2.3Разложение рациональных функций в сумму дробей.

Функция вида , где и многочлены, называется рациональной. Пусть представляется в виде произведения взаимно простых многочленов . Найдём многочлены и , что . Умножим равенство на рациональную функцию , и сократим дроби. В результате получим равенство . При необходимости указанные преобразования можно повторить несколько раз.

2.4Неприводимый многочлен, его свойства

Многочлен называется неприводимым над числовым полем, если он не делится на многочлены меньшей степени (исключая константы)

Теорема 2.12 Пусть многочлен f(x) неприводим. Тогда

1. Из вытекает, либо , либо .

2. Если неприводимый многочлен делится на неприводимый многочлен, то они отличаются числовым множителем.

Доказательство.

Докажем первое утверждение. Если , то утверждение верно. Пусть не делится на , тогда и найдутся многочлены и , что . Умножим полученное равенство на : . В левой части равенства все слагаемые делятся на , следовательно, .

Второе утверждение следует непосредственно из определения неприводимого многочлена.

Теорема 2.13 Многочлен над числовым полем единственным образом раскладывается в произведение неприводимых многочленов, с точностью до перестановки сомножителей и числовых множителей.

Доказательство проведём индукцией по числу сомножителей. Если многочлен имеет один сомножитель, то он неприводим, и теорема верна. Пусть теорема верна для любого многочлена, разлагающегося на не более n-1 сомножителей. Допустим, найдётся многочлен, имеющий как минимум два разложения на неприводимые множители ( ). Поскольку произведение делится на , то найдётся номер i, что делится на . Переставим сомножители так, чтобы i=s. Многочлены и отличаются числовым множителем . Следовательно, . По предположению индукции s-1=n-1 и сомножители отличаются только порядком и числовыми коэффициентами. Теорема доказана.