13.2. Основна теорема аксонометрии (теорема Польке)

Рассмотрев общие сведения об аксонометрических проекциях, можно сделать следующие выводы:

- аксонометрические чертежи обратимы;

- аксонометрическая и вторичная проекции точки вполне определяют её положение в пространстве.

Аксонометрические проекции обратимы, если известна аксонометрия трех главных направлений измерений фигуры и коэффициенты искажения по этим направлениям.

Аксонометрические проекции фигуры являются её проекциями  на плоскости произвольного положения при произвольно выбранном направлении проецирования.

Очевидно возможно и обратное. На плоскости можно выбрать произвольное положение осей с произвольными аксонометрическими масштабами.

В пространстве всегда возможно такое положение натуральной системы прямоугольных координат и такой размер натурального масштаба по осям, параллельной проекцией которых является данная аксонометрическая система.

Немецкий ученый Карл Польке (1810-1876) сформулировал основную теорему аксонометрии: три отрезка прямых произвольной длины, лежащих в одной плоскости и выходящих из одной точки под произвольными углами друг к другу, представляют параллельную проекцию трех равных отрезков, отложенных координатных осях от начала.

Согласно этой теореме, любые три прямые в плоскости, исходящие из одной точки и не совпадающие между собой, можно принять за аксонометрические оси. Любые отрезки произвольной длинны на этих прямых, отложенные от точки их пересечения, можно принять за аксонометрические масштабы. Эта система аксонометрических осей и масштабов является параллельной проекцией некоторой прямоугольной системы координатных осей и натуральных масштабов.

В практике построения аксонометрических изображений обычно применяют лишь некоторые определенные комбинации направлений аксонометрических осей и аксонометрических масштабов: прямоугольная изометрия и диметрия, косоугольная фронтальная диметрия, кабинетная проекция и др.

13.3. Стандартные аксонометрические проекции

Перед построением аксонометрических проекций необходимо выбрать рациональное расположение изделия относительно направления проецирования.

В практике наиболее применяемыми являются:

1. Прямоугольная изометрическая проекция. Она наиболее удобна для деталей криволинейной формы, так как обеспечивает достаточную наглядность в сочетании с простотой построения.

2. Прямоугольная диметрическая проекция. Ее рационально применять для изделий призматической и пирамидальной форм, а также для изделий, у которых длина и ширина незначительно отличаются друг от друга.

3. Косоугольная фронтальная диметрическая проекция. Этот вид аксонометрической проекции рекомендуется для тех случаев, когда требуется изобразить неискаженными элементы, находящиеся во фронтальной плоскости. Располагая деталь последовательно параллельно осям ОХ : OY : OZ, можно определить наиболее целесообразную для данной детали аксонометрическую проекцию.

13.3.1. Прямоугольная изометрическая проекция

Между коэффициентами искажения и углом φ, образованным направлением проецирования и картинной плоскостью, существует следующая зависимость: u²+υ²+ω²=2+ctq²φ, если φ=90^o, то u²+υ²+ω²=2.

В изометрии u=υ=ω и, следовательно, 3u²=2, откуда  u= √2/3 ≈ 0,82.

Таким образом, в прямоугольной изометрии размеры предмета по всем трем измерениям сокращаются на 18%. ГОСТ рекомендует изометрическую проекцию строить без сокращения по осям координат (рис.13.2), что соответствует увеличению изображения против оригинала в 1,22 раза.

Рис.13.2. Расположение осей в изометрии

П остроение точки в изометрии

Рис.13.3.

Аксонометрические проекции плоских фигур

Построение изображений плоских многоугольников сводится к построению аксонометрических проекций их вершин, которые соединяют между собой прямыми линиями. В виде примера рассмотрим построение пятиугольника, изображенного на pис. 13.4.

Рис. 13.4

Линии X,Y примем за координатные оси. Проводим изометрические оси Xp и Yp (pис. 13.4). Для построения изображения точки 1 достаточно на оси Yp отложить отрезок Op-1, равный по величине координате Y1. Затем откладываем в ту же сторону от точки Op отрезок Op-t, равный координате Y2, и через точку t проводим прямую ab, параллельную оси Xp. Координаты X2 вершин 2 и 5 пятиугольника одинаковы по величине, но различны по знакам; поэтому на изометрическом изображении откладываем в обе стороны от точки t отрезки t-2 = t-5 = X2. Сторона 3-4 пятиугольника параллельна оси X. Отложив от точки q по оси Yp отрезок q-Op, равный координате Y3, проводим прямую cd, параллельную оси Xp, и откладываем на ней отрезки q-3 = q-4 = X3. Соединив точки 1, 2, 3, 4, 5 прямыми линиями, получаем аксонометрическую проекцию пятиугольника.

Построение аксонометрической проекции призмы трехгранной

Рис.13.5

Изометрическая проекция окружности

При выполнении чертежей часто возникает необходимость вычерчивания окружности, которые расположены в плоскостях уровня. Для их построения в аксонометрии используют грани куба, которые совмещают с плоскостями проекций П1, П2, П3. Тогда окружности, вписанные в видимые грани куба, проецируются на аксонометрическую плоскость в виде эллипсов равной величины, но разной ориентации.

На рис. изображена изометрическая проек­ция куба с окружностями, вписанными в его гра­ни. Квадратные грани куба будут изображаться в виде ромбов, а окружности в виде эллипсов.

Рис.13.6

Надо запомнить, что малая ось CD каждого эллипса всегда должна быть перпендикулярна большой оси АВ.

Если окружность расположена в плоскости, параллельной плоскости П1, то большая ось АВ должна быть перпендикулярна оси z, а малая ось CD- параллельна оси z.

Большие оси всех трех эллипсов направлены по большим диагоналям ромбов.

Большая ось эллипса = 1,22d.

Малая ось = 0,71d.

Поскольку черчение лекальных кривых - эллипсов вызывает определенную трудность, то их заменяют более простыми циркульными кривыми – овалами.

Рис.13.7. Изометрические проекции окружностей  расположенных в плоскостях параллельных плоскостям проекций

Вычерчивание эллипсов

При наличии некоторого навыка для вычерчивания эллипса вполне достаточно восьми точек - pис. 13.8. Точки 1 и 2 - концы большой оси, 3 и 4 - концы малой оси. Точки 5, 6, 7, 8 - аксонометрические проекции концов диаметров окружности, параллельных координатным осям X, Y. Для определения большего количества точек можно применить следующий способ. На кромке полоски бумаги (pис. 13.8) отложить отрезки AB и AC, равны по величине соответственно большой и малой полуоси эллипса. Если точку С заставить скользить (pис. 13.8) вдоль большой оси эллипса, а точку B - вдоль малой оси, то точка A опишет эллипс.

В некоторых случаях практически допустимо приближенное вычерчивание эллипсов с помощью циркуля. Построение изометрических проекций окружности диаметра d, плоскость которой параллельна какой-нибудь координатной плоскости, рекомендуется производить как показано на pис. 13.8.

Рис. 13.8

В диметpии приближенное вычерчивание эллипса можно производить для окружности, расположенной в плоскости, параллельной XZ и для окружностей, расположенных в плоскостях, параллельных XY и ZY. Порядок вычерчивания показан на pис. 13.8.

Диаграмма умножения размеров на коэффициенты искажения

Задача умножения величины линейных размеров (l) на коэффициенты 1,22, 1,06 и т.д. значительно упрощается, если применить вместо арифметических подсчетов графические построения с помощью диаграммы (pис. 13.9).

Рис. 13.9

Проведя две взаимно перпендикулярные прямые AB и AC, на одной из них, например на AB, от точки A откладывают 100 мм. Затем на AC от той же точки A откладывают 35, 50, 70, 95, 106, 122 мм. Полученные точки соединяют с точкой O.

Если от точки O по горизонтали отложить размер l, то взятые по вертикали отрезки Da, Db, ..., Df pавны соответственно 0,35 l; 0,5 l; ...; 1,22 l.

Hа наклонных линиях диаграммы наносят значения коэффициентов, которым эти линии соответствуют.

Использование диаграммы значительно упрощается, если ее выполнить на миллиметровой бумаге.

13.3.2. Прямоугольная диметрическая проекция

При построении прямоугольной диметрической проекции сокращение длин по оси y' (рис.13.3) принимают вдвое больше, чем по двум другим, т.е. полагают, что u=ω, а υ=0,5u.

Тогда 2u²+(0,5u)²=2,

откуда u²=8/9 и u≈0,94, а υ=0,47.

В практических построениях от таких дробных коэффициентов обычно отказываются, вводя масштаб увеличения, определяемый соотношением 1/0,94=1,06, и тогда коэффициенты искажения по осям x' и z' равны единице, а по оси y' вдвое меньше υ=0,5.

Рис.13.10. Расположение осей в диметрии

Построение проекции точки

Рис.13.11

Построение проекции призмы трехгранной

Рис.13.12

Построение аксонометрических проекций плоской кривой сводится к построению проекций ряда ее точек и соединению их в определенной последовательности. На pис. 34.2 показано построение эллипса, расположенного в плоскости координатных осей X, Y.

Рис. 13.13

Hа эллипсе намечаем ряд точек и определяем их прямоугольные координаты X и Y. Проведя аксонометрические оси, откладываем от точки Op вдоль оси Xp отрезки, равные по величине координатам X намеченных точек, а вдоль оси Yp - отрезки, равные по величине половине координат Y (показано построение точек a, b, c, d). Через концы отрезков проводим прямые, параллельные осям Xp, Yp; на их пересечении получаем аксонометрические проекции соответствующих точек, которые соединяем плавной линией.

Диметрическая проекция окружности

Окружности в диметрической проекции изображаются в виде эллипсов. Большая ось АВ эллипсов во всех случаях равна 1,06 d, где d - диаметр окружности. Малые оси CD эллипсов, расположенных на плоскостях, параллельных плоскости проекций П1 и П3, равны 0,35d, а на плоскости, параллельной плоскости П2 = 0,95 d.

Рис.13.14. Диметрические проекции окружностей  расположенных в плоскостях параллельных плоскостям проекций