Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Банк задач для подготовки к экзамену ГРФ 1 семе...doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
07.02.2020
Размер:
1.36 Mб
Скачать

Банк задач для подготовки к экзамену

ГРФ

Дисциплина математика

I семестр 2013-2014

Модуль 1

Раздел 1 – Линейная алгебра.

  1. Решить уравнение .

  2. Вычислить определитель .

  3. Найти , если , .

  4. Дано .

Существует ли CА и АC? Если да, найдите их.

  1. Найти решение системы методом Крамера . В ответе указать

  2. Решить систему матричным методом и методом Крамера .

  3. Решить систему методом Гаусса .

  4. Найти фундаментальную систему решений

  1. Найти ранг, норму, след, собственные числа и собственные векторы матрицы

  2. Найти ранг, норму, след, число обусловленности , собственные числа и собственные векторы матрицы

.

  1. Решить матричное уравнение:

  2. Найти значение матричного многочлена, если , если .

  3. Найти значение матричного многочлена, если , если

.

Раздел 2 – Векторная алгебра.

  1. Определить начало вектора , если его конец совпадает с точкой (1;-1;2), найти соответствующий ему нормированный вектор.

  2. Векторы и образуют угол , причем . Определить и .

  3. При каких скалярное произведение векторов и равно 0.

  4. При каких векторное произведение векторов и равно 0.

  5. Коллинеарны ли векторы и ,построенные по векторам и ?

, , , .

  1. Найти косинус угла между векторами и .

, , .

  1. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

, , , , .

  1. Компланарны ли векторы , и ?

.

  1. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках и его высоту, опущенную из вершины на грань .

.

  1. Проверить, что 4 точки A(3;-1;2), B(1,2,-1), C(-1,1,-3), D(3;-5;3) служат вершинами трапеции.

  2. Даны вершины : A(-1;-2;4), B(-4,-2,0), C(3,-2,1). Определить его внутренний угол при вершине B.

  3. Даны вершины : A(1;-1;2), B(5,-6,2), C(1,3,-1). Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины B на сторону AC.

  4. Даны 3 вектора , , . Найти: 1) ; 2) .

  5. Установить, компланарны ли векторы . Если векторы компланарны, найти линейную зависимость между ними.

  6. Разложить вектор по трем некомпланарным векторам , , .

  7. Написать разложение вектора по векторам , предварительно доказав что они образуют базис.

  1. Найти координаты вектора в новом базисе , , .

Модуль 2 Раздел 3 – Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве. Прямая на плоскости

  1. Найти координаты точки, делящей отрезок АВ в отношении 3:4 от начала. Координаты точек А(1;6), В(-3;8).

  2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку K(2;2) параллельно прямой .

  3. Написать уравнение прямой, проходящей через точки E(1;3) и F(5;2). Найти точки пересечения данной прямой с осями координат.

  4. Даны вершины треугольника: A(4;1), B(0;-2), C(-5;10).

Найти: 1) Уравнение стороны BC; 2) Длину стороны BC; 3) Уравнение высоты, проведенной из вершины A; 4) Длину высоты, проведенной из вершины A; 5) Уравнение медианы, проведенной из вершины В; 6) Уравнение средней линии, параллельной стороне ВС; 7) площадь треугольника АВС; 8) Угол B; 9) Сделать чертеж.

  1. Даны координаты вершин треугольника АВС: А(4;5), В(1;1), С(-5;9). Найти уравнение высоты АД; уравнение средней линии треугольника КМ, параллельной стороне АВ; угол между АД и КМ.

  2. Даны уравнения двух сторон параллелограмма: x-y-1=0 и x-2y-1=0 и точка P(2;2) пересечения его диагоналей. Составить уравнения двух других сторон параллелограмма. Сделать чертеж.

  3. Найдите координаты вершин треугольника, стороны которого лежат на прямых, заданных уравнениями , , .

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]