
- •Раздел 1 – Линейная алгебра.
- •Найти значение матричного многочлена, если , если
- •Раздел 2 – Векторная алгебра.
- •Модуль 2 Раздел 3 – Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве. Прямая на плоскости
- •Кривые 2 порядка.
- •Плоскость и прямая в пространстве.
- •Поверхности 2 порядка.
- •Модуль 3 Раздел 3 – Абстрактная алгебра.
- •Раздел 4 – Комплексные числа.
- •Найти , если .
- •Дано: , .
Банк задач для подготовки к экзамену
ГРФ
Дисциплина математика
I семестр 2013-2014
Модуль 1
Раздел 1 – Линейная алгебра.
Решить уравнение
.
Вычислить определитель
.
Найти
, если
,
.
Дано
.
Существует ли CА и АC? Если да, найдите их.
Найти решение системы
методом Крамера
. В ответе указать
Решить систему матричным методом и методом Крамера
.
Решить систему методом Гаусса
.
Найти фундаментальную систему решений
Найти ранг, норму, след, собственные числа и собственные векторы матрицы
Найти ранг, норму, след, число обусловленности , собственные числа и собственные векторы матрицы
.
Решить матричное уравнение:
Найти значение матричного многочлена, если
, если
.
Найти значение матричного многочлена, если , если
.
Раздел 2 – Векторная алгебра.
Определить начало вектора
, если его конец совпадает с точкой (1;-1;2), найти соответствующий ему нормированный вектор.
Векторы
и
образуют угол
, причем
. Определить
и
.
При каких
скалярное произведение векторов
и
равно 0.
При каких
векторное произведение векторов и
равно 0.
Коллинеарны ли векторы
и
,построенные по векторам
и
?
,
,
,
.
Найти косинус угла между векторами
и
.
,
,
.
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и .
,
,
,
,
.
Компланарны ли векторы , и
?
.
Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках
и его высоту, опущенную из вершины
на грань
.
.
Проверить, что 4 точки A(3;-1;2), B(1,2,-1), C(-1,1,-3), D(3;-5;3) служат вершинами трапеции.
Даны вершины
: A(-1;-2;4), B(-4,-2,0), C(3,-2,1). Определить его внутренний угол при вершине B.
Даны вершины : A(1;-1;2), B(5,-6,2), C(1,3,-1). Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины B на сторону AC.
Даны 3 вектора
,
,
. Найти: 1)
; 2)
.
Установить, компланарны ли векторы
. Если векторы компланарны, найти линейную зависимость между ними.
Разложить вектор
по трем некомпланарным векторам
,
,
.
Написать разложение вектора
по векторам
, предварительно доказав что они образуют базис.
Найти координаты вектора
в новом базисе
,
,
.
Модуль 2 Раздел 3 – Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве. Прямая на плоскости
Найти координаты точки, делящей отрезок АВ в отношении 3:4 от начала. Координаты точек А(1;6), В(-3;8).
Составить уравнение прямой, проходящей через точку K(2;2) параллельно прямой
.
Написать уравнение прямой, проходящей через точки E(1;3) и F(5;2). Найти точки пересечения данной прямой с осями координат.
Даны вершины треугольника: A(4;1), B(0;-2), C(-5;10).
Найти: 1) Уравнение стороны BC; 2) Длину стороны BC; 3) Уравнение высоты, проведенной из вершины A; 4) Длину высоты, проведенной из вершины A; 5) Уравнение медианы, проведенной из вершины В; 6) Уравнение средней линии, параллельной стороне ВС; 7) площадь треугольника АВС; 8) Угол B; 9) Сделать чертеж.
Даны координаты вершин треугольника АВС: А(4;5), В(1;1), С(-5;9). Найти уравнение высоты АД; уравнение средней линии треугольника КМ, параллельной стороне АВ; угол между АД и КМ.
Даны уравнения двух сторон параллелограмма: x-y-1=0 и x-2y-1=0 и точка P(2;2) пересечения его диагоналей. Составить уравнения двух других сторон параллелограмма. Сделать чертеж.
Найдите координаты вершин треугольника, стороны которого лежат на прямых, заданных уравнениями
,
,
.