2.5. Двойственная задача линейного программирования.

Теорема Если из пары двойственных задач одна обладает оптимальным планом, то и другая имеет решение, причем для экстремальных значений целевых функций обоих задач выполняется соотношение: max Исходной=min Двойственной и наоборот.

Следствие. Если целевая функция одной из задач не ограничена, то другая задача решения не имеет.

На практике, обычно решают ту задачу, которая несет основной содержательный смысл, а результаты решения другой используют по необходимости для экономического обоснования первой. При этом результаты решения как исходной так и двойственной задач находятся в одной и той же симплекс-таблице.

Существуют симметричные и несимметричные пары задач. В несимметричных двойственных задачах система ограничений исходной задачи задается в виде равенств, а двойственной – в виде неравенств, причем в последней переменные могут быть и отрицательными.

В симметричных двойственных задачах системы ограничений обоих задач задаются неравенствами, причем на двойственные переменные налагается условие неотрицательности.

При построении двойственной задачи используют следующие правила:

• число переменных двойственной задачи должно быть равно числу основных ограничений исходной;

• коэффициентами целевой функции для двойственной задачи служат свободные члены системы ограничений исходной задачи;

• вид экстремума двойственной задачи противоположен экстремуму исходной;

• матрица основных ограничений двойственной задачи получается транспортированием аналогичной матрицы исходной задачи;

• свободными членами системы основных ограничений двойственной задачи служат коэффициенты целевой функции исходной задачи;

• система основных ограничений двойственной задачи описывается неравенствами, причем знаки неравенств противоположны указанным в исходной задаче.

По условиям дана следующая математическая модель исходной задачи:

(2.5.1)

Приведем ее к каноническому виду через ввод дополнительных переменных.

(2.5.2)

Строим двойственную задачу по отношению к данной в соответствии с вышеизложенными правилами построения.

(2.5.3.)

Решаем исходную задачу двойственным симплекс-методом. Для получения базиса следует умножить третье уравнение из системы ограничений на (-1).

(2.5.4.)

Переменные у₄, у₅, у₆ составляют базис. Можно составить исходную симплекс-таблицу.

Таблица 3

Базис	Сj	30	10	4	0	0	0	bi
		У1	У2	У3	У4	У5	У6
У4	0	2	1	1	1	0	0	20
У5	0	3	2	2	0	1	0	16
У6	0	-1	-1	-1	0	0	1	-2
Wj- Сj		-30	-10	-4	0	0	0

В соответствии с алгоритмом метода покинуть базис должен вектор, имеющий отрицательную компоненту. Войдет в базис вектор У₁, т.к. его оценка минимальна. Соответственно генеральный элемент равен (-1).

Пересчитываем симплекс-таблицу и получаем следующий результат.

Таблица 4

Базис	Сj	30	10	4	0	0	0	bi
		У1	У2	У3	У4	У5	У6
У4	0	0	-1	-1	1	0	2	16
У5	0	0	-1	-1	0	1	3	10
У1	30	1	1	1	0	0	-1	2
Wj- Сj		0	20	26	0	0	-30	60

План записанный в этой симплекс-таблице нельзя назвать оптимальным, т.к. есть вектор, чья оценка отрицательна. Поэтому вектор У₆ следует ввести в базис. Покинет базис вектор У₅,т.к. отношение компоненты к коэффициенту разложения вектора У₆ по базису у него минимально. Генеральный элемент равен 3. Пересчитываем план.

Таблица 5

Базис	Сj	30	10	4	0	0	0	bi
		У1	У2	У3	У4	У5	У6
У4	0	0	-0,3333	-0,3333	1	0,6667	0	9,3333
У5	0	0	-0,3333	-0,3333	0	0,3333	1	3,3333
У1	30	1	0,6667	0,6667	0	0,3333	0	5,3333
Wj- Сj		0	10	16	0	10	0	160

Оценки всех векторов неотрицательны; значит, получен оптимальный план.

Результат: Wmax=160 у₁= у₂=0 у₃=0 у₄=9 у₅=0 у₆=3

Двойственная задача имеет следующий результат:

х₁=0 х₂=0 х₃=0 х₄=0 х₅=10 х₆=16