VI. Расчет коэффициентов разложения барического поля в ряд по полиномам чебышева.

Для расчета функции от двух переменных (поля) применяется формула:

где _I,_j – полиномы Чебышева;

А_ij – коэффициенты разложения.

Значения коэффициентов вычисляются по формуле:

;

где к – число узлов, в которых задается функция в направлении оси Х;

ℓ - число узлов, в которых задается функция в направлении оси У.

Поле функции Р(Х_mY_n) представляется в виде матрицы:

Р(Х₁У₁) Р(Х₁У₂)……….. Р(Х₁У_ℓ)

Р(Х_mY_n)= Р(Х₂У₁) Р(Х₂У₂)……….. Р(Х₂У_ℓ)

………………………………………..

Р(Х_kУ₁) Р(Х_kУ₂)………... Р(Х_кУ_ℓ)

Коэффициент, у которого хотя бы один из индексов равен нулю (А₀₀, А₁₀, А₀₁………) упрощается:

;

;

Если поле атмосферного давления представить в виде ряда Чебышева, то член ряда А₀₀₀₀ соответствует среднему по площади значению давления, член ряда А₁₀₁₀ и А₀₁₀₁ характеризует меридиональный и широтный переносы воздуха. А₁₀ – физически обозначает перенос с юга на север (отрицательное значение – перенос с севера на юг); А₀₁ – с запада на восток (положительное значение) и с востока на запад (отрицательное значение).

Расчет полиномов Чебышева любого порядка имеет вид:

где n – число точек, в которых задано значение функции;

к – номер точки, принимающий значения 1, 2, 3…….n.

Аналогично рассчитывается и _к+1.

Таким образом _i _i представляют собой параболы i-го порядка (i=1, 2, 3…….n).

Тогда ₀=1

; и т.д.

Расчет ₁ для 16-точечного квадратного поля,

Где n=4, а Х=1, 2, 3, 4

Значения ₁ – аналогично: -1,5; -0,5; 0,5 и 1,5

2-2,5=-0,5

3-2,5=0,5

4-2,5=1,5

для

(-0,5)²-1,25=-1

(0,5)²-1,25=-1

(1,5)²-1,25= 1

Значения и для ₂ будут: 1; -1;-1; 1

Пример

Дано барическое поле в 16 точках (4х4). Для расчетов первых трех коэффициентов А₀₀, А₁₀ и А₀₁ берем значения атмосферного давления в виде Р – 1000 мб. Тогда матрица для расчетов будет:

Р ₁ ₁Р

16 19 21 24 80 -1,5 -120

13 17 17 17 64 -0,5 -32

12 12 16 17 57 0,5 28,5

12 15 16 16 59 1,5 88,5

Р 53 63 70 74 Р=260 ₁²=5  ₁Р=-35

₁ -1,5 -0,5 0,5 1,5 ₁²=5

_iP -79,5 -31,5 35 111 _iP=35

VII. Матрицы переходных вероятностей

Матрицы переходных вероятностей содержат информацию о вероятном поведении любой конкретной системы. Если записать 4 вероятных перехода от состояния i к состоянию j предшествующего периода (t-1) к последующему (t) как:

	it-1	jt-1
it	Pii	Pji
jt	Pij	Pjj

Вероятности переходов системы от предшествующего состояния к последующему рассматриваются в теории, именуемой цепями Маркова.

Возможны и три состояния системы или характеристики, например низкое (Н), среднее (С) и высокое (В) значение последней. Тогда матрица будет иметь вид:

	Нt-1	Сt-1	Вt-1
Нt	Рнн	Рсн	Рвн
Ct	Рнс	Рсс	Рвс
Bt	Рнв	Рсв	Рвв

Пример

Имеем многолетний ряд среднегодовых значений температуры воды в порту Одесса, разделены на три равновероятных диапазона: Н – низкие, С – средние и В – высокие значения.

Годы	1960	1961	1962	1963	1964	1965	1966	1967	1968	1969	1970	1971
Т0С	в	в	с	в	н	н	в	в	с	н	с	с

1972	1973	1974	1975	1976	1978	1979	1980	1981	1982	1983	1984	1985
в	н	в	в	н	с	с	н	с	с	с	н	н

1986	1987	1988	1989	1990
с	н	н	в	в

Вопрос: с какой вероятностью можно спрогнозировать уровень температуры воды следующего (t) года по уровню данного (t-1)?

Строим матрицу вероятных переходов от данного года к последующему, для чего подсчитываем частоту и относительную вероятность комбинаций переходов Н в Н, Н в С, Н в В, С в Н и т.д.

	Нt-1	Сt-1	Вt-1
Нt	4/0,36	4/0,30	3/0,33
Ct	4/0,36	4/0,40	2/0,22
Bt	3/0,27	2/0,20	4/0,44
	11	10	9
	31

Как видим, в данной матрице переход любого состояния в последующее осуществляется с вероятностью не более 40%, что не может быть основанием для использования в прогностических целях. Если хотя бы одна из 9 вероятностей достигала 80%, мы бы получили возможность прогноза с такой (приемлемой в практике) вероятностью. И то, только по одному из состояний текущего года.

Матрицы такого типа могут быть использованы и для сопоставления двух синхронных рядов. Тогда, вместо связи последующего состояния с предшествующим, можно определить степень совпадений разных состояний в анализируемых рядах.

Пример

За период с 1977 по 1983 год определена удельная биомасса антарктического криля (Б) в море Содружества (Антарктическая часть Индийского океана). Эти величины, при разделении их на три равновероятных диапазона, сопоставлены с аналогичной формой значений солнечной активности (числа Вольфа, W):

Годы	1977	1978	1979	1980	1981	1982	1983
W	Н	С	В	В	В	В	С
Б	В	В	С	Н	Н	Н	В

Б

W

	Н	С	В
Н	0	0	3/0,75
С	0	0	1/0,25
В	1/1,00	2/1,00	0
	1	2	4
	7

Результаты сопоставления показывают, что при низком и среднем значении солнечной активности в море Содружества наблюдается высокая биомасса криля. При высоком значении указанной характеристики биомасса будет низкой с вероятностью 75% или средней с вероятностью 25%. Поскольку солнечная активность изменяется циклично (квазицикл равен 11 годам) и может экстраполироваться на последующий год, указанная матрица может использоваться для ориентировочного прогноза промысловому флоту.

Оговоримся, что достоверность прогноза снижается из-за очень короткого ряда наблюдений.