2. Методи геометричних перетворень

Розв'язування задач на побудову методами геометричних перетворень має велике методичне значення. Ці методи дають можливість знаходити плани розв'язування багатьох змістов­них конструктивних задач, спрощувати побудови шуканих фігур і відшукувати деякі загальні способи їх побудови.

Залежно від виду перетворення при розв'язуванні задач на побудову використовуємо метод симетрії, метод повороту, метод паралельного перенесення та метод подібності. Ідея застосування методів перетворення до розв'язування задач на побудову така: якщо властивості шуканих елементів фігу­ри, яку потрібно побудувати, неможливо знайти при безпо­середньому вивченні малюнка-ескіза, то перетворюють гео­метрично або всю фігуру, або її елементи. Після цього легше виявити властивості шуканих елементів фігури і знайти спосіб побудови.

Засвоєння учнями методів геометричних перетворень значною мірою залежить від правильного добору тренувальних вправ.

Метод симетрії

Суть методу симетрії можна сформувати так:

1) на малюнку-ескізі дану фігуру (або один чи кілька її елементів) замінюють фігурою, яка симетрична даній відносно деякої точки або прямої;

2) задачу переформульовують у допоміжну, переносячи дані в умові вимоги, які стосуються даної фігури, на симетричну;

3) виконують побудову в допоміжній задачі та з'ясовують, в результаті яких побудов можна розв’язати дану задачу.

Метод повороту навколо точки

Метод повороту навколо точки застосовують для побудови трикутників з відомим кутом між рівними сторонами, наприклад рівносторонніх трикутників, рівнобедрених прямокутних трикутників. Цей метод застосовують і для побудови таких фігур, у яких можна виділити трикутник зазначеного типу. За центр повороту найчастіше обирають ту точку, положення якої визначено на площині. Усі задачі на побудову, пов’язані з поворотом навколо точки, належать до позиційних.

Метод подібності

При вивченні тем «Перетворення подібності», «Подібність фігур» розв’язуємо задачі на побудову методом подібності. Якщо дані геометричної задачі на побудову такі, що, опустивши одне з них, можна побудувати безліч фігур, подібних шуканій, а потім, враховуючи опущене дане, будують шукану фігуру. У цьому й полягає метод подібності.

Цей метод можна вводити як продовження методу геометричних місць, оскільки в ньому використовуємо ті самі операції, що й у методі геометричних місць.

Перед розв’язуванням задач на побудову методом подібності слід провести підготовчу роботу. Учні повинні знати, що в подібних трикутниках пропорційними є відповідні висоти, бісектриси й медіани, радіуси вписаних і описаних кіл.

Вказівки до розв’язання задач методом подібності:

1) виділити з умови задачі ті дані, які визначають форму шуканої фігури;

2) за цими даними побудувати допоміжну фігуру, яка подібна шуканій;

3) виконати подібне перетворення допоміжної фігури, використавши те дане з умови задачі, яке визначає розміри шуканої фігури.

Наведені вказівки застосовуємо при аналізі задач на побудову.