2.4. Розклад симетричних многочленів на множники
Тепер розглянемо прийоми розкладу симетричних многочленів на множники. Покажемо застосування цих методів на прикладі симетричних многочленів четвертої степені.
Перший прийом заключається в тому, що даний симетричний многочлен виражають через та і потім отриманий вираз розкладають на множники. При виражені симетричного многочлена четвертої степені через та отримуємо многочлен другої степені відносно . Для розкладу його на множники достатньо знайти корені отриманого многочлена другої степені.
Розглянемо приклад: розкласти на множники многочлен
Виражаючи симетричний многочлен через та , знаходимо:
Отриманий
квадратний многочлен (відносно
)
має корені
та
і тому наступним чином розкладається
на множники:
Звідси,
повертаючись до початкових змінних
,
отримаємо:
Перший множник в правій частині має комплексні корені, і ми його залишимо без змін. Другий же множник легко розкласти:
Таким чином, остаточно знаходимо:
Другий
прийом заключається в тому, що симетричний
многочлен четвертої степені намагаються
представити у вигляді добутку двох
несиметричних множників, кожен з яких
представляє собою «відображення» іншого
множника, тобто отримується з нього
перестановкою змінних
та
.
Іншими словами, слід намагатися
представити заданий симетричний
многочлен четвертої степені у вигляді
де
– якісь поки невідомі (невизначені)
коефіцієнти. Цей прийом носить назву
метод невизначених коефіцієнтів (МНК).
Як же визначити значення невідомих коефіцієнтів ? Ми розглянемо це на наступному прикладі: розкласти на множники многочлен
Вираження
цього многочлена через елементарні
симетричні многочлени
та
має наступний вигляд:
Цей многочлен другої степені відносно має комплексні корені. Тому застосуємо другий прийом, тобто намагаємося представити даний многочлен у вигляді
(***)
Для
знаходження коефіцієнтів
помітимо, що відношення (***) повинно
представляти собою тотожність, тобто
повинно бути вірним при будь-яких
значеннях змінних
та
.
Тому ми можемо застосувати метод
частинних значень, тобто можемо для
знаходження коефіцієнтів підставляти
у (***) замість
та
які-небудь числові значення. Так,
припустимо
,
знаходимо:
звідси
.
Замітимо тепер, що коефіцієнти визначені
лише з точністю до знака, так як якщо
змінити у всіх трьох числах
знаки на протилежні, то відношення (***)
залишиться справедливим. Тому, не
втрачаючи загальності, ми можемо вважати,
що
.
Далі,
припускаючи, що
отримуємо з (***):
,
звідси
.
І тепер
нехай
Отримаємо
Отож,
для визначення коефіцієнтів
ми отримали наступну систему рівнянь:
Якщо в
правій частині другого рівняння взяти
знак «+», то легко ми знайдемо із двох
перших рівнянь:
Тепер, враховуючи третє рівняння, маємо
(або
).
В результаті отримаємо:
Цю рівність одержано при припущені, що шуканий розклад (***) існує. Розкриваючи дужки в правій частині, стверджуємося в справедливості отриманої рівності.
Якщо б в правій частині другого рівняння ми взяли знак « - », то отримали б систему, що має комплексні розв’язки. Тому ми не одержимо розклад на дійсні множники (тобто даний многочлен можна й іншим способом розкласти на множники, але вони будуть містити комплексні корені).