1.4. Формула Варінга

Метод обчислення степеневих сум має один недолік: щоб знайти вираження для , потрібно обчислити всі попередні суми. А інколи нам це не потрібно, і хотілося б відразу отримати результат. Відповідна формула була відкрита в 1779 році англійським математиком Едуардом Варінгом. Вона має наступний вигляд:

(7)

Легко зрозуміти закон утворення доданків в цій формулі. Так як степенева сума є многочленом степені від та , то слід очікувати, що в розклад (7) будуть входити також лише многочлени степені . Але – многочлен першої степені, а – одночлен другої степені (відносно та ). Якщо піднести в степінь , то отримаємо вираз степені відносно та . На залишається лише степінь . Тому вираз для і складено із доданків виду , де змінюється від нуля до найбільшого цілого числа, що не перебільшує .

Коефіцієнт представляє собою дріб, в чисельнику якого стоїть , а знаменник є добутком чисел та (це легко запам’ятати: й є показниками степенів, з якими входять та в цей доданок). Крім цього, коефіцієнти почергово змінюють знак. Відмітимо, що й коефіцієнт при отриманий за тим самим законом. Потрібно тільки мати на увазі, що в цей доданок входить в нульовому степені, а прийнято вважати, що 0!=1. Тому всі доданки в правій частині формули (7) можуть бути отримані одним і тим же методом: потрібно у виразі числу послідовно надавати значення 0, 1, 2, … аж до найбільшого значення , при якому показник є додатнім (тобто до найбільшого цілого числа, що не перебільшує ).

За допомогою формули Варінга легко отримати знову формули для степеневих сум .

Доведення формули Варінга проведемо методом математичної індукції. При формула набуває вигляду , а при – вигляду

= .

Таким чином, при та формула Варінга справедлива.

Припустимо тепер, що вже доведена справедливість формули Варінга для . Щоб довести її для , використовуємо формулу (6). Тоді маємо:

Тоді вираз перетвориться в суму:

Замінимо у другій сумі на . Тоді обидві суми можна буде об’єднати:

Але:

^{= = ,}

і тому вираз в квадратних дужках дорівнює

+ = .

Так як , то ми й отримаємо потрібне відношення:

= .

Формулу Варінга доведено.

Розділ II. Застосування симетричних многочленів в елементарній алгебрі

2.1. Розв’язування системи рівнянь

Дуже часто зустрічаються системи рівнянь, у яких ліві частини симетрично залежні від невідомих та . В цьому випадку зручно перейти до нових невідомих В силу основної теореми це завжди можна зробити. Користь такої заміни заключається в тому, що степені рівнянь після заміни зменшуються. Іншими словами, як правило, розв’язування системи відносно нових невідомих та простіше, ніж розв’язування заданої системи.

Після того, як знайдені значення величин та , потрібно знайти значення невідомих та . Це можна зробити за допомогою наступної теореми, яка відома ще з шкільного курсу алгебри; ми її нагадаємо в більш уточненій формі.

Теорема. Нехай та – два довільних числа. Квадратне рівняння (*) та система рівнянь пов’язані між собою наступним чином: якщо – корені квадратного рівняння (*), то система рівнянь (**) має два розв’язки:

і не має інших розв’язків; навпаки, якщо – розв’язок системи (**), то числа і є коренями квадратного рівняння (*).

Доведення. Якщо – корені квадратного рівняння (*), то за формулами Вієта:

тобто числа

є розв’язками системи (**). Те, що інших розв’язків система (**) не має, витікає з останнього твердження теореми, яке ми зараз доведемо.

Отож, нехай – розв’язок системи (**), тобто

Тоді ми маємо:

.

Але це означає, що числа та є коренями квадратного рівняння (*). Теорему доведено.

Наведемо приклад.

Розв’яжіть систему рівнянь:

Вводимо нові змінні Далі знаходимо:

а потім для нових змінних отримуємо наступну систему рівнянь:

Із цієї системи рівнянь отримуємо

Отож, тобто для початкових невідомих ми отримали наступну систему:

Ця система рівнянь досить легко розв’язується, і ми отримуємо такі розв’язки початкової системи: (2; 3) та (3; 2).