1. Вираження степеневих сум через та .

Спочатку ми доведемо теорему не для будь-яких симетричних многочленів, а лише для степеневих сум. Іншими словами, ми покажемо, що кожну степеневу суму можна представити у вигляді многочлена від та .

З цією ціллю помножимо обидві частини рівності на Отримаємо:

Таким чином, (6)

Із цієї формули й витікає справедливість нашого твердження. І справді, раніше ми вже перевіряли, що степеневі суми та представляються у вигляді многочленів від та . Але якщо нам відомо, що степеневі суми виражаються у вигляді многочленів від та , то, підставляючи їх у формулу (6), ми отримаємо вираження степеневих сум через та . Іншими словами, зможемо послідовно знайти вираження степеневих сум через σ₁ та σ₂. Таким чином, наше твердження доведено.

Формула (6) дозволяє не тільки стверджувати, що якось виражається через та , але й послідовно обчислювати вираження степеневих сум через та . Так, за допомогою формули (6) ми послідовно знаходимо:

і т. д.

2. Доведення основної теореми.

Тепер досить легко завершити доведення теореми. Будь-який симетричний многочлен від та містить (після приведення подібних членів) доданки двох видів.

По-перше, можуть зустрічатися одночлени, в яких і входять в однакових степенях, тобто одночлени виду Зрозуміло, що тобто одночлени цього виду безпосередньо виражаються через .

По-друге, можуть зустрічатися одночлени, які містять різні степені відносно та , тобто одночлени виду , де . Зрозуміло, що разом з одночленом симетричний многочлен містить також і одночлен , отриманий з перестановкою літер та . Іншими словами, в симетричний многочлен входить двочлен виду . Припускаючи, що , ми зможемо переписати цей двочлен наступним чином:

.

А так як за доведеним степенева сума представляється у вигляді многочлена від та , то і розглянутий двочлен виражається через та .

Отже, кожний симетричний многочлен представляється у вигляді суми одночленів виду і двочленів виду , кожний із яких виражається через та .

Тому, будь-який симетричний многочлен представляється у вигляді многочлена від та . Теорему повністю доведено.

1.3. Теорема про єдиність зображення симетричних многочленів через елементарні симетричні многочлени

Ми бачимо, що якщо дано симетричний многочлен від та (не дуже великого степеню), то виразити через та легко. Описане вище доведення основної теореми якраз і містить прийом, який дозволяє виразити будь-який симетричний многочлен через елементарні симетричні многочлени та . Виникає питання: чи можна знайти який-небудь інший прийом, що приведе до іншого вираження многочлена через та ? З’ясувалося, що це неможливо: який би шлях ми не використовували для вираження симетричного многочлена через та , завжди отримаємо один і той же результат. Іншими словами, справедлива наступна теорема.

Теорема єдиності. Якщо многочлени та при підстановці перетворюються в один і той же симетричний многочлен , то вони співпадають: = .

Достатньо довести лише частковий випадок теореми єдиності, а саме той, коли Іншими словами, достатньо довести наступне твердження:

Якщо многочлен при підстановці перетворюються в нуль, то він тотожньо дорівнює нулю. (А)

Покажемо, що теорема єдиності витікає з твердження (А). Припустимо, що многочлени та при підстановці дають однакові результати: . Тоді многочлен при тій самій підстановці перетворюється в нуль:

Тому, якщо вірне твердження (А), то і, отже, = .

Для доведення твердження (А) нам знадобиться поняття старшого члену многочлена від двох змінних. Нехай та – два одночлена від та . «Старшинство» визначається порівнянням показників при , а у випадку їх рівності, - показників при . Іншими словами, вважають, що одночлен старший за , якщо або або та

Доведемо тепер наступну лему:

Старший член многочлена, який отриманий після розкриття дужок у виразі (*) , дорівнює

Насправді, вираз (*) можна записати так:

разів

Зрозуміло, що член з найбільшим показником при отримаємо, якщо вибрати в кожних дужках доданок . Так як число дужок дорівнює , то цей член має вигляд У всіх останніх членах показник при менше Таким чином, – старший член. Лему доведено.

Слід замітити, що вираз (*) отримується з одночлена при підстановці . Тому доведена лема дозволяє по одночлену відразу записати відповідний старший член, а по заданому старшому члені знайти одночлен .

Перейдемо до доведення твердження (А). Нам необхідно впевнитися, що якщо многочлен відмінний від нуля, то він не може перетворитися в нуль після підстановки .

Нехай многочлен має вид

Виберемо в ті члени, для яких має найбільше значення. З відібраних доданків виберемо член з найбільшим значенням (такий член тільки один, бо числа та однозначно визначають ).

Отож, нехай ми вибрали одночлен Йому відповідає старший член Покажемо, що він старший від всіх останніх членів, які отримані при підстановці в многочлен і наступному розкритті дужок. Відносно членів, отриманих із доданка все зрозуміло, оскільки – старший із цих членів. Візьмемо тепер який-небудь інший доданок, скажімо . Цьому доданку відповідає старший член . При цьому, в силі вибору одночлена ми маємо або або але В обох випадках член старший, ніж . Тим паче він старший від останніх членів, які отримані з доданку .

Ми довели, що – найстарший із всіх членів, які отримані після підстановки в многочлен і розкритті дужок. Тому в нього немає подібних членів, і після приведення подібних доданків він не знищиться. Але тоді многочлен не може тотожньо дорівнювати нулю. Отримане протиріччя доводить твердження (А). Разом з тим доведена й теорема єдиності.