4 График скорости.

Наряду с графиками движения часто пользуются графиками скорости. Их получают, откладывая по оси абсцисс время, а по оси ординат — проекции скорости тела. Такие графики показывают, как изменяется скорость с течением времени.

В случае прямолинейного равномерного движения «зависимость» скорости от времени состоит в том, что скорость со временем не изменяется. Поэтому график скорости представляет собой прямую, параллельную оси времени (рис. 29). График 1 на этом рисунке относится к случаю, когда тело движется в сторону положительного направления оси X. График 2 — к случаю, когда тело движется в противоположном оси X направлении (проекция скорости отрицательна).

По графику скорости тоже можно определить перемещение тела за данный промежуток времени. Оно численно равно площади заштрихованного прямоугольника (рис. 30).

Действительно, площадь прямоугольника равна произведению двух смежных его сторон. Но в нашем случае одна из сторон в выбранном масштабе равна времени t\, а другая — проекции скорости v\_x вектора v. А их произведение v_{xt\ как раз и равно проекции вектора перемещения тела

5 Средняя скорость.

В некоторых случаях, когда имеют дело с неравномерным движением, пользуются средней скоростью. Ее получают, разделив перемещение тела s на время, в течение которого оно совершено:

υ_{ср =} (5)

Если, например, поезд, двигаясь по прямой, проходит 600 км за 10 ч, то это значит, что в среднем он за каждый час проходит 60 км. Но ясно, что какую-то часть времени поезд вовсе не двигался, а стоял на остановке; трогаясь со станции, поезд увеличивал свою скорость, приближаясь к ней — уменьшал ее. Все это при определении средней скорости мы не принимаем во внимание и считаем, что поезд каждый час проходил по 60 км, каждые полчаса — по 30 км и т. д. Пользуясь формулой v_cp= s: t мы как бы

считаем, что поезд двигался равномерно со скоростью 60 км/ч, хотя, быть может, за все эти 10 ч не было ни одного такого часа, за который поезд прошел бы именно 60 км.

Знание средней скорости позволяет найти перемещение по формуле

s = υ_cp t

Но надо помнить, что эта формула дает верный результат только для того участка траектории, для которого определена средняя скорость. Если, пользуясь значением средней скорости в 60 км/ч, вычислять перемещение поезда не за 10 ч, а за 2, 4 или 5 ч, то мы получим неверный результат. Средняя скорость за время 10 ч не равна средним скоростям за 2, 4 или 5 ч.

Таким образом, средняя скорость, вообще говоря, не позволяет вычислять перемещение, а значит, и координаты в любой момент времени.

Для вычисления положения тела в любой момент времени скорость все-таки нужно знать, но не среднюю, а так называемую мгновенную скорость.

6 Мгновенная скорость.

Всякое движущееся тело обладает скоростью. С другой стороны, при своем движении по траектории тело проходит через все ее точки. А таких точек бесконечно много. Через каждую из них тело проходит в определенный момент времени. Таких моментов времени тоже бесконечно много. Выходит поэтому, что в каждый момент времени и в каждой точке траектории тело обладает какой-то скоростью. Вот эта скорость и называется мгновенной. Мгновенной скоростью тела называется скорость тела в данный момент времени или в данной точке траектории.

При прямолинейном равномерном движении скорость тела равна отношению его перемещения к промежутку времени, за который это перемещение совершено. Этому отношению равна и средняя скорость при неравномерном движении. Оно же поможет нам понять и смысл мгновенной скорости.

Допустим, что некоторое тело (как всегда, мы имеем в виду определенную точку тела) движется прямолинейно, но не равномерно. Нас интересует мгновенная скорость, например, в точке А его траектории (рис. 37). Выделим небольшой участок 1 на этой траектории, включающий точку А. Малое перемещение тела на этом участке обозначим через S₁, а малый промежуток времени, в течение которого оно совершено, через t₁. Разделив s на t, мы получим среднюю скорость на этом участке; это именно средняя скорость, потому что скорость непрерывно изменяется, и в разных местах участка она разная.

Уменьшим теперь длину участка. Выберем участок 2 (см. рис. 37), тоже включающий точку А. Перемещение теперь равно s₂ (s_{2 <}s₁), и совершает его тело за меньший промежуток времени t₂. На этом участке скорость успевает измениться на меньшую величину. Но отношение S₂ : t₂

— дает нам и теперь среднюю скорость на этом меньшем участке. Еще меньше изменение скорости на протяжении участка 3 (также включающего в себя точку А), меньшего, чем участки 1 и 2. Разделив перемещение s₃ на промежуток времени t₃, мы опять получим среднюю скорость на этом малом участке траектории.

Будем продолжать уменьшать промежуток времени, за который мы рассматриваем перемещение тела. Вместе с ним будет уменьшаться и перемещение. В конце концов промежуток времени станет так мал, что можно будет пренебречь изменением скорости за это время (движение станет как бы равномерным).

Участок траектории, пройденный за этот, совсем уже малый, промежуток времени как бы стянется в точку А, а промежуток времени — в момент времени. Тогда-то средняя скорость и станет мгновенной скоростью тела в точке А.

Мгновенная скорость, или скорость в данной точке, равна отношению достаточно малого перемещения на участке траектории, включающем эту точку, к малому промежутку времени, в течение которого это перемещение совершается.

Мгновенная скорость — это векторная величина. Направление вектора мгновенной скорости совпадает с направлением движения в данной точке. В дальнейшем, говоря о скорости неравномерного движения, мы будем иметь в виду именно мгновенную скорость.

О мгновенной скорости можно говорить и в случае равномерного движения. Разница только в том, что при равномерном движении мгновенная скорость в любой точке и в любой момент времени одна и та же. При неравномерном же движении она в разных точках и в различные моменты времени различна.