52) Какими методами находят решение систем дифференциальных уравнений, в чём их особенности? Рассмотрите метод Эйлера-Коши на примере.

Явные методы типа Рунге-Кутта.

Рунге предложил следующую идею, основанную на вычислении приближенного решения y_i  в узле x₀+h в виде линейной комбинации с постоянными коэффициентами.  ₍₁₎ где                   

 Числа α_i, β_ij и p_qi выбираются так, чтобы разложение данного выражения по степеням h совпадало c разложением в ряд Тейлора до максимально возможной степени при произвольной правой части f(x,y) и произвольном шаге h. Это эквивалентно следующему. Если ввести вспомогательную функцию                            то ее разложение по степеням s должно начинаться с максимально возможной степени:                              Если можно определить эти постоянные так, чтобы разложение   имело такой вид, то говорят, что формула (1) с выбранными коэффициентами имеет порядок точности s. Величина                                         называется погрешностью метода на шаге или локальной погрешностью метода, а слагаемое      называется главным членом локальной погрешности метода. Доказано, что если q = 1,2, 3,4, то всегда можно выбрать коэффициенты α_i, β_ij и p_qi так, чтобы получить метод типа Рунге-Кутта (1) пятого порядка точности q. При q = 5 невозможно построить метод типа Рунге-Кутта (1) пятого порядка точности, необходимо брать в комбинации (1) более пяти членов.

Метод Эйлера

Учитывая ключевую позицию, которую занимает метод Эйлера в теории численных методов ОДУ, рассмотрим несколько способов его вывода. При этом будем считать, что вычисления проводятся с расчетным шагом  , расчетными точками (узлами) служат точки   (i = 0,1,..., n) промежутка   и целью является построение таблицы

x	x0	x1	…	xn≈b
y	y0	y1	…	yn≈y(b)

приближенных значений y_i решения у=у{х) задачи в расчетных точках х_i. Геометрический способ. Пользуясь тем, что в точке x₀ известно значение решения y(x₀)=y₀, и значение его производной   (согласно (1.1)), можно записать уравнение касательной к графику искомой функции у=у(х) в точке (х₀;у₀): _. (1.3)

При достаточно малом  шаге h ордината               эта касательная, полученная подстановкой в правую часть (1,3) значения  , по непрерывности  должна мало отличаться от ординаты  y(x₁) решения y(x) задачи (1,1). Следовательно, точка (x₁,y₁) пересечения касательной (1,3) с прямой х=х₁ может быть приближенно принята за новую начальную точку. Через эту точку снова проведем прямую которая уже приближенно отражает поведение касательной к у=у(х) в точке (х₁;у(х₁)). Подставляя сюда х=х₂(=х₁+h), иначе, пересекая эту «касательную» прямой х=х₂, получим приближение значения у(х₂) значением , и т.д. В итоге этого процесса, определяемого формулой            i=0,1,2…,n и называемого методом Эйлера, график решения  у=у(х) данной задачи Коши (1,1)-(1,2) приближенной представляется ломанной, составленной из отрезков приближенных касательных (Рис.4) откуда происходит другое название – метод ломаных. Рис.1. Геометрическая интерпретация метода Эйлера.

Существуют различные модификации метода Эйлера, повышающие его точность. Они обычно направлены на то, чтобы более точно определить переход от точки   в точку .Усовершенствованным методом Эйлера называется метод, который использует формулу следующего вида

                                                     (1)

При использовании этого метода сначала по формуле Эйлера найдем приближенное решение в середине интервала, т.е.

                                    (2)

Затем в середине отрезка, т.е. точке ( , ) вычисляем значение функции  , т.е. определяем в этой точке наклон интегральной кривой  . Используя эти найденные промежуточные значения вычисляем значение сеточной функции по формуле (1).

Следовательно, формулу (1) можно записать следующим образом

                                      (3)

Геометрически усовершенствованный метод Эйлера можно изобразить следующим образом.

 

  Рис.1.

По методу Эйлера мы получаем кривую L2, а усовершенствованный метод Эйлера дает решение в виде кривой L1. В модифицированном методе Эйлера усредняются наклоны касательных,  при этом для нахождения следующего значения вычисляется значение f два раза, т.е. увеличивается объем вычислений. Однако уже  из рисунка видно, что этот метод является более точным по сравнению с методом Эйлера. Доказывается, что усовершенствованный метод Эйлера имеет точность второго порядка.

Рассмотрим еще одну модификацию метода Эйлера, которая получается, если аппроксимацию функции f  приравнять среднему арифметическому значений этой функции на концах элементарного отрезка, т.е. имеем

             i=0,1,2,…,n-1                   (4)

                                                                                                (5)

Выразим значение сеточной функции решения

            i=0,1,2,…,n-1                     (6)

                                                                                                (7)

 

Полученная схема является неявной, т.к. искомое значение сеточной функции   входит в обе части уравнения (6) и его нельзя выразить явно. Значит решение разностной задачи (6)-(7) следует искать  итерационным  способом. Вычисление сеточной функции в каждой последующей точке, т.е.   можно проводить на основе двух итераций. Будем предполагать, что значение   уже известно. Применим метод Эйлера и найдем промежуточное значение 

                                                                              (8)

Это найденное  промежуточное значение подставим в правую часть уравнения (6), чтобы вычислить  значение функции f.   Окончательно получаем

                  i=0,1,2,…,n-1               (9)

                                                                                                 (10)

Алгоритм (8)-(10)  можно записать в виде одного соотношения вида

   i=0,1,2,…,n-1           (11)

                                                                                                (12)

Схема (4)-(5) или в варианте (11)-(12) является модификацией метода Эйлера и ее называют методом Эйлера-Коши или методом Эйлера с пересчетом. Этот метод может быть получен путем разложения функции u(x) в ряд Тейлора. Параллельно можно показать , что этот метод имеет второй порядок точности, т.е его применение уменьшает в среднем значение погрешностей до величины второго порядка малости  . На практике же оценку погрешности полученного решения  принято получать с помощью двойного пересчета с шагами h и h/2.

 Пример. Методом Эйлера-Коши решить следующую задачу Коши.

Взять шаг h=0.1 и результаты сравнить с точным решением. Все вычисления оформим в виде таблицы.

 

i						D	Точное решение
0	1	0.5	0.25			0.023835	0.5
1	1.1	0.523635	0.226756	0.525	0.226704	0.021664	0.523809
2	1.2	0.545499	0.206608	0.546511	0.206531	0.019777	0.545455
3	1.3	0.56276	0.179030	0.566160	0.188941	0.018127	0.565216
4	1.4	0.583403	0.173603	0.584178	0.173510	0.016675	0.583333
5	1.5	0.600378		0.600783	0.159898		0.60000

 

 

 Заполнения таблицы имеет следующий порядок.

    

          

    

      

      

С помощью метода Эйлера-Коши можно проводить контроль точности решения путем сравнения промежуточного значения функции в i+1 узле с ее окончательным значением в этом узле , т.е. значений  и  . На основании этого сравнения выбирается величина шага h в каждом узле. Если модуль разности этих значений  сравним с погрешностью вычислений, т.е. выполняется неравенство     , то шаг можно увеличить.