Дифференциальный подход

Дифференциальный подход основывается на нахождении скоростей точек изображения по разностной схеме. Первые методы [2,3,4] основывались на вычислении производных первого порядка. При этом предполагалось, что яркость в точке остается постоянной в течение небольшого промежутка времени, что выражается уравнением

.

Отсюда получим уравнение

(1) .

Также можно сделать предположение о производных второго порядка [4,5,6,7]:

.

Тогда, раскрывая дифференциал и градиент по переменным , получим

(2) .

Алгоритм, описанный в [2], основан на минимизации функционала (3), составленного из сглаживающей части и части, основанной на предположении (1):

(3) .

Здесь . Область – область, в которой ищется оптический поток. Значение коэффициента определяет уровень значимости сглаживающей части функционала (3). Предложения по выбору значения различаются кардинально. Например, в книге [2] предлагается выбирать данную константу равной , в книге [1] – равной .

Минимизирующая функционал (3) последовательность скоростей имеет вид

(4) ,

.

Здесь и – скорости, усредненные по соседним точкам

Необходимое количество итераций может варьироваться в зависимости от характеристик последовательности изображений. В работах [1,2] предлагается сделать не менее 100 итераций.

Пример работы алгоритма можно видеть на рисунке #.3.3.

Рис. #.3.3. Оптический поток с последующей сегментацией с сохранением номера области.

Алгоритм, описанный в [7], основывается на минимизации функционала (5) по области .

(5) .

Функционал (5) содержит взвешенную сумму по точкам, входящих в область , – весовая матрица.

Алгоритм, описанный в [4], минимизирует функционал

(6) .

Данный функционал имеет похожую структуру на функционал (3). Отличием является иной вид сглаживающей части, который более точно просчитывает поток на контурах объекта. Параметр в [4] предлагалось выбирать равным , в [1] – . Параметр в (6) аналогичен параметру в (3).

Корреляционный подход

Дифференциальный подход к вычислению оптического потока может быть непрактичен в связи с присутствием шумов на изображениях или в связи с недостаточным количеством изображений в последовательности. Так были предложены корреляционные алгоритмы [8,9], основанные на поиске наилучшего смещения между областями на последовательности изображений. Большинство из них основывается на максимизации функции подобия или на минимизации SSD-функционала (Sum-of-Squares Difference):

(7) .

SSD-функционал представляет собой функцию смещения .

Метод, предложенный в работе [8], основывается на применении пирамиды Лапласа, а также SSD-функционала. Минимум (7) ищется для нескольких уровней пирамиды. Такой подход позволяет определить большие смещения, так как при использовании пирамиды Лапласа строится несколько изображений, (количество изображений определяется уровнем пирамиды) идентичных первоначальному, но уменьшенного размера.

Скорости в данном методе находятся из минимизации функционала

(8) ,

где и – направления минимальной и максимальной кривизны SSD-поверхности в точке минимума, и – минимальный и максимальный радиусы кривизны SSD-поверхности, – смещение, полученное из решения задачи для более высоких уровней пирамиды. Решение находится с помощью итерационного алгоритма Гаусса-Зейделя.

В работе [9] предложен двухэтапный метод. На первом этапе вычисляется значение SSD-функционала по трем изображениям:

(9) ,

где определено в (7). Затем значение из (9) используется для генерации вероятностного распределения с плотностью вероятности

(10) ,

где . Скорости и вычисляются как математические ожидания смещений и соответственно, также вычисляется ковариационная матрица .

На втором этапе вычисляются скорости и как взвешенные средние по соседним точкам, вычисляется соответствующая матрица и минимизируется функционал

(11) .

Здесь скорости и являются известными, а и находятся из последовательности точек

(12) ,

.

Решение получается из минимизации функционала (11).